条件付き確率

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イントロ

情報が増えた後の全体で考える

条件付き確率では、ある情報が分かっている状態で確率を考えます。分母は元の全体ではなく、条件に合う範囲へ狭くなります。条件はヒントであると同時に、使ってよい結果の範囲を狭める情報です。

定義

教科書では: Bが起こったという条件のもとで、Aが起こる確率です。
言いかえると: 『Bと分かっているとき』は、Bに合う結果だけを新しい全体として見ます。その中でAも満たす結果を数えるのが条件付き確率です。条件付き確率では、最初の標本空間をそのまま使い続けません。条件Bに合う結果だけを新しい標本空間のように見て、その中でAを満たす割合を考えます。

公式

条件Bの中でAを見る式です。縦棒は『Bという条件のもとで』と読みます。

条件付き確率

P(A|B)=P(A∩B)P(B)

Bが起きた範囲を分母にし、AもBも満たす部分を分子にする。 Bが起こった範囲を分母にし、その中でAも起こる重なりを分子にする式です。

使うときのコツ

P(B)が0のときは、条件として分母にできないため扱いません。

解くコツ

『分母がBになる』と読むと使いやすいです。個数で解ける問題では、まず条件後の候補を実際に並べると安全です。

手順

例

場面: 1〜6のカードから1枚引いた。偶数だと分かっているとき、4以上である確率。
順に考えると: 条件後の全体は偶数の{2,4,6}で3通りです。その中で4以上は{4,6}の2通りなので、確率は2/3です。偶数だと分かった時点で、1,3,5は候補から外れます。残った3通りの中だけで4以上を探します。
ここが結論: 元の6通りを分母にしないことが大切です。 2/3は、6通り中2通りではなく、偶数3通り中2通りという割合です。

比較

種類	分母	見る範囲
普通の確率	元の全体	全結果
条件付き確率	条件後の全体	条件を満たす結果だけ

種類普通の確率

種類条件付き確率

条件が付いたら、分母が変わるかを最初に確認します。条件なしの確率と同じ分母で計算していないかを比べると、ミスに気づきやすくなります。

注意

確認

1〜6のカードで偶数と分かっている。条件付き確率の分母は何通りですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

値と確率を掛けて足すことで平均的な見込みを求め、くじの判断材料として安全に使います。