nPr と並べ方

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イントロ

選んでから順序つきに置く

nPr は、いくつかを選んで順番のある席や役割に置く数え方です。順位や役職が違えば、同じ人を選んでも別の通りになります。全部を並べない場面でも、置く場所に意味があるなら順列として数えます。

定義

教科書では: n個の異なるものからr個を選び、順序を区別して並べる場合の数です。
言いかえると: 1位、2位、3位や、委員長・副委員長のように場所や役割が違うと、同じ人の組でも結果が変わります。そのときは順列として数えます。 nPrのrは、実際に埋める席や役割の数です。n人全員を使うのではなく、必要なrか所だけ候補が減るところまで掛けます。

公式

r個分だけ候補が減る積です。 nPrは、途中で止まる階乗のように読むと自然です。

順列

nPr = n×(n-1)×...×(n-r+1)

n個からr個を選んで順に並べる数。 n個から1つずつ取り出して、r個の順序ある場所へ置く数です。最後の因数はr個目の候補数です。

積の形

₅P₃ = 5×4×3

5人から3席を順に埋める例。 5人から3つの順位を決める例では、5人、4人、3人までを掛けて止めます。

解くコツ

実際の計算では、r個分だけ掛けると見通しやすいです。先に空欄をr個描き、左から候補数を書き込むと、何個掛けるかを間違えにくくなります。

要点

「選ぶ」という言葉だけで決めず、順番や役割の違いを見ます。同じ人を選んでいても、1位と2位が入れ替われば結果は変わります。組合せとの分かれ目は、入れ替えを別結果として数えるかです。

例

場面: 5人から3人を選んで、1位・2位・3位を決める。
順に考えると: 1位は5通り、2位は残り4通り、3位は残り3通りです。したがって₅P₃=5×4×3=60通りです。 3人を選ぶだけでなく順位まで決めるので、A,B,Cの3人でもABC、ACB、BACなどは別に数えます。
ここが結論: 順位があるので、同じ3人でも並びが違えば別です。

比較

場面5人全員を並べる

場面5人から3人を並べる

場面5人から3人を選ぶだけ

順列か組合せかは、順序の意味で分けます。入れ替えた結果を先生が別答案として区別するか、という見方で判断すると実戦的です。

注意

確認

5人から委員長と副委員長を1人ずつ選ぶ。使う式はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

同じ候補を繰り返し使える並べ方では、各場所の選択肢が減らないこととnʳを学びます。