確率の意味と標本空間

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イントロ

起こりやすさを数で表す

確率は、起こりやすさを根拠付きで表す数です。まず全体で何が起こり得るかを決め、その中で求めたい事象が何通りあるかを見ます。『何を1回の結果と見るか』がずれると、分母も分子も変わってしまいます。

定義

教科書では: 標本空間は起こり得る結果全体、事象はその一部です。
言いかえると: サイコロなら標本空間は1から6の6通りです。偶数が出る事象は、その中の2,4,6です。同様に確からしいとき、確率は事象の個数を全体の個数で割ります。標本空間はただ大きな集合ではなく、その試行で起こり得る結果を同じ単位で集めたものです。事象は、その中から条件に合う結果を選んだ部分集合です。

公式

同様に確からしい結果で使います。分数の前に、分母と分子が何を数えているかを言葉にします。

確率

P(A) = n(A)n(U)

事象Aの個数を、全体Uの個数で割る。事象Aに入る結果の個数を、全体Uに入る結果の個数で割って割合にします。

使うときのコツ

サイコロの目のように、各結果が同じ起こりやすさのときに使います。

解くコツ

全体の1通りが同じ起こりやすさか確認します。

比較

観点根拠

観点サイコロの例

観点使い方

公平なサイコロの論理的な確率は1/2です。実際の少ない試行では頻度が1/2からずれることもありますが、試行を重ねて起こりやすさを見積もります。

要点

分母を決めずに分子だけ数えないようにします。分母を決める前に分子を数え始めると、何に対する割合かがあいまいになります。分母は、その試行で起こり得る結果全体として先に固定します。

例

場面: サイコロを1回投げて偶数が出る確率。
順に考えると: 全体は{1,2,3,4,5,6}の6通りです。偶数は{2,4,6}の3通りなので、確率は3/6=1/2です。ここでは1,2,3,4,5,6のどの目も同じ起こりやすさなので、個数の比として扱えます。
ここが結論: 確率は全体に対する事象の割合です。 1/2は、偶数が全体の半分を占めるという意味です。次に条件付き確率では、この全体が変わることがあります。

注意

確認

サイコロで3以上が出る確率の分母は何ですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

2つの事象の重なり、排反、余事象を見分け、確率の足し引きを基本例題で正しく選びます。