円に内接する四角形

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イントロ

4点が同じ円上なら角がつながる

四角形の4つの頂点が1つの円の上にあると、向かい合う角どうしに特別な関係が生まれます。対角の和が 180° になることを使います。

定義

教科書では: 4つの頂点が同じ円周上にある四角形です。向かい合う角の和は 180° になります。
言いかえると: この性質は、すべての四角形に成り立つわけではありません。まず、4つの頂点が同じ円に乗っているかを確認します。逆に、一組の対角の和が 180° になることは、4点が同じ円に乗るかを考える手がかりにもなります。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

公式

円に内接していることを確認してから使います。

対角の和

∠A + ∠C = 180°

円に内接する四角形 ABCD では、向かい合う角の和が 180° です。

もう一組

∠B + ∠D = 180°

もう一組の対角にも同じ性質が成り立ちます。

解くコツ

同じ円上に4点があるかを先に確認します。

要点

円が描かれているだけでなく、4点が円周上にあることが大切です。

例

場面: 内接四角形 ABCD で ∠A=70°。∠C を求める。
順に考えると: A と C は向かい合う角です。内接四角形では ∠A+∠C=180° なので、∠C=180°-70°=110° です。角度計算では、隣の角ではなく対角を見ることに注意します。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 対角のペアを見つけると、すぐに式が立てられます。

比較

見方	使えること	注意
内接している	対角の和が180°	4点が同じ円上
対角の和が180°	内接の可能性を判断	証明では根拠を添える

見方内接している

見方対角の和が180°

性質とその逆の見方を混同せず、条件を言葉にします。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

円に内接する四角形 ABCD で ∠B=80° です。∠D は何度ですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

接線と弦のつくる角を、その弦に対する円周角へ移して読む方法を、接線の直角性と区別して整理します。