内心と角の二等分線

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イントロ

三角形の内側に接する円の中心

三角形の3つの辺にぴったり接する円を考えると、その中心が内心です。外心と違い、内心では頂点ではなく辺までの距離を見ます。

定義

教科書では: 三角形の3つの角の二等分線が交わる点です。内心から3辺までの距離は等しくなります。
言いかえると: 角の二等分線上の点は、その角を作る2辺から等しい距離にあります。だから、2つの角の二等分線の交点は、3つの辺から等しい距離にある点になります。この等しい距離を半径として、三角形の内側に接する円が描けます。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

要点

同じ中心でも、何が等しいのかが違います。

例

場面: I が ∠A と ∠B の二等分線の交点であるとする。
順に考えると: I は ∠A の二等分線上にあるので、辺 AB と AC までの距離が等しいです。さらに ∠B の二等分線上にもあるため、辺 BA と BC までの距離が等しくなります。結果として、I から3辺までの距離がそろい、内接円の中心になります。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 角の二等分線は、辺までの距離をそろえる線です。

比較

中心外心

中心内心

中心重心

中心の名前は、作る線と等しいものをセットで覚えます。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

内心について正しい説明はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

重心を3本の中線の交点として捉え、中線を頂点側から2:1に分けることを確認します。