2つの円と共通接線

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イントロ

円どうしの関係を距離で読む

2つの円は、交わる・接する・離れる・一方が他方を含むなど、いくつかの位置関係に分かれます。中心間距離を半径の和・差と比べると整理できます。

定義

教科書では: 2つの円の中心間距離 d を、半径 R と r の和 R+r や差 |R-r| と比べて分類します。
言いかえると: 見た目で交わりそうかを判断するより、中心を結んだ距離を使う方が確実です。外から接するときは d=R+r、内側で接するときは d=|R-r| です。この分類は共通接線の本数にもつながります。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

要点

図を見る前に、比較する3つの長さをそろえます。

比較

条件d > R+r

条件d = R+r

条件|R-r| < d < R+r

条件d = |R-r|

一方が完全に内側にあるときは d < |R-r| で、共通接線はありません。長さ計算までは進みません。

例

場面: 半径 5 と 2 の円で、中心間距離が 7 の場合と 3 の場合を比べる。
順に考えると: 半径の和は 5+2=7、差は |5-2|=3 です。中心間距離が 7 なら d=R+r なので外接です。中心間距離が 3 なら d=|R-r| なので内接です。どちらも `接する` ですが、外側で接するか内側で接するかが違います。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 和と差を両方用意すると、外接と内接を区別できます。

要点

本数は位置関係を確認した後に考えます。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

半径 6 と 2 の2つの円で、中心間距離 d=4 です。位置関係はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

基本作図を、手順暗記ではなく、条件を満たす点や直線を作る活動として根拠と一緒に整理します。