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等差数列の和
長い足し算をペアで見る
等差数列の和は、最初と最後を組にすると見通しがよくなります。項数、初項、末項を先にそろえると、公式の代入ミスを減らせます。
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定義
部分和Sₙ
- 教科書では
- Sₙは、第1項から第n項までを足した和を表します。
- 言いかえると
- 等差数列では、順に並べた和と逆順に並べた和を足すと、どのペアも初項+末項になります。このペアの考えが公式のもとです。
公式
等差数列の和
項数n、初項a、末項lを使います。
初項と末項
Sn = n(a+l)2
項数×ペアの和を2で割ります。
使うときのコツ
末項lが分かるときに便利です。
公差を使う形
Sn = n(2a+(n-1)d)2
末項を一般項で置き換えた形です。
使うときのコツ
末項が未指定ならこちらを使います。
解くコツ
代入前に、n、a、lまたはdを欄外に書きます。
手順
解く手順
- 1
項数nを確認する
- 2
初項aを確認する
- 3
末項lを求める
- 4
公式へ代入する
例
- 場面
- 3+7+11+...+39 の和を求める。
- 順に考えると
- 初項3、公差4です。39=3+(n-1)4よりn=10。和はS₁₀=10(3+39)/2=210です。先に項数を求めるのがポイントです。
- ここが結論
- 和は210です。
注意
末項と項数を混同しない
要点
和の公式に入る前
等差数列の和で一番多いミスは、公式そのものより項数の読み違いです。足す前に、何個あるかを別に確認します。
- 1
初項を確認する
- 2
末項を確認する
- 3
項数を計算する
- 4
ペアの和を見る
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 項数n | 足している項の個数 | 末項の数値を入れる |
| 末項l | 最後に足す項 | 最後の番号と混同する |
| Sₙ | 第n項までの和 | 第n項そのものと思う |
見る点項数n
- 正しい読み
- 足している項の個数
- よくあるずれ
- 末項の数値を入れる
見る点末項l
- 正しい読み
- 最後に足す項
- よくあるずれ
- 最後の番号と混同する
見る点Sₙ
- 正しい読み
- 第n項までの和
- よくあるずれ
- 第n項そのものと思う
初項・末項・項数を欄外に並べると、公式への代入がただの作業ではなくなります。
要点
等差数列の和の答案
和では、初項・末項・項数をそろえることが得点の中心です。末項が未定なら先に項数を求め、どの公式に入れるかを明確にします。 求めたSₙが最後の項ではなく合計であることを、問題文の言葉に戻して確認します。 項数を求める途中で末項を使った場合は、その末項が本当に数列に含まれるかも確認します。
- 1
初項と末項を読む
- 2
項数nを先に確定する
- 3
使う和の公式を選ぶ
- 4
Sₙが合計だと書く
確認
確認テスト
Q1
初項2、末項20、項数10の等差数列の和はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
Sₙは第n項までの和
- 2
等差の和はペアで見る
- 3
nは足す項の個数
- 4
末項を先に確認する
- 5
Sₙは最後の項ではなく合計
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