イントロ
Σ記号の意味
長い足し算を短く書く
Σは、同じ形の式に添字を順に代入して足すことを表す記号です。上端だけを見るのではなく、下端から上端まで全部を足します。
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定義
Σと添字
- 教科書では
- Σは、添字を決められた範囲で動かして、その項を足し合わせる記号です。
- 言いかえると
- 下にある数が始まり、上にある数が終わりです。添字kなら、kに1,2,3のように順に代入して、出てきた項を足します。
公式
Σの基本形
第1項から第n項までの和を短く書きます。
基本
Σk=1n ak = a1 + a2 + ... + an
kを1からnまで動かして足します。
- k動く添字
- n最後の番号
使うときのコツ
まず展開して意味を確認します。
解くコツ
下端、上端、代入する式の3点を読む習慣をつけます。
手順
展開の手順
- 1
下端を読む
- 2
上端を読む
- 3
添字へ順に代入する
- 4
出た項を足す
例
- 場面
- Σₖ₌₁⁴ (2k+1) を展開する。
- 順に考えると
- k=1,2,3,4を順に入れます。すると3+5+7+9となり、和は24です。上端4だけを入れるのではありません。
- ここが結論
- Σは範囲内の全項を足します。
要点
Σで必ず読む3か所
Σは記号が大きいので、どこを見ればよいか迷いやすいです。下端、上端、代入する式の3か所を順に読めば展開できます。
- 1
下端は始まり
- 2
上端は終わり
- 3
添字は動く文字
- 4
式は毎回代入する
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 下端 | 最初に代入する値 | ただの飾りと見る |
| 上端 | 最後に代入する値 | 答えの値と思う |
| 添字 | 範囲内で動く文字 | nとkを混同する |
見る点下端
- 正しい読み
- 最初に代入する値
- よくあるずれ
- ただの飾りと見る
見る点上端
- 正しい読み
- 最後に代入する値
- よくあるずれ
- 答えの値と思う
見る点添字
- 正しい読み
- 範囲内で動く文字
- よくあるずれ
- nとkを混同する
Σを展開できることは、後の公式計算でも土台になります。まず短い範囲で確認します。
要点
Σ記号を読む答案
Σでは、下の数から上の数まで、同じ式に順に代入して足します。最初の項、最後の項、項数を言葉にしてから計算します。 下端・上端・中身の3つを声に出して読むと、代入する値の範囲を取り違えにくくなります。 計算前に書き出しを1行作ると、Σが何を足しているかを見失いにくくなります。 足す項数は、上端−下端+1で確認できます。
- 1
下端が最初の値
- 2
上端が最後の値
- 3
Σの中の式に代入
- 4
何項足すか確認
要点
展開の書き始め
Σを見たら、いきなり計算結果を出さず、最初の項、次の項、最後の項を並べます。範囲が見えると、項数や代入漏れに気づきやすくなります。
- 1
最初の項を書く
- 2
次の項を書く
- 3
最後の項を書く
- 4
上端だけで止めない
確認
確認テスト
Q1
Σₖ₌₁³ k² の展開として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
Σは足し算の省略記号
- 2
下端から上端まで代入する
- 3
添字は動く文字
- 4
まず展開して意味を読む
- 5
下端・上端・中身を分けて読む
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