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自然数・平方数・立方数の和
形を見て公式を選ぶ
Σの計算では、よく出る和の公式を使います。まず足しているものがk、k²、k³のどれかを読み、対応する公式を選びます。
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定義
基本的な数列の和
- 教科書では
- 自然数、平方数、立方数の和には、よく使う公式があります。
- 言いかえると
- 公式は形ごとに決まっています。Σk²は「2乗した項を足す」意味で、Σkを求めてから2乗する意味ではありません。
公式
よく使う和の公式
下端が1、上端がnの形で覚えます。
自然数
Σk = n(n+1)2
1+2+...+nの和です。
平方数
Σk2 = n(n+1)(2n+1)6
1²+2²+...+n²の和です。
立方数
Σk3 = {n(n+1)2}2
1³+2³+...+n³の和です。
解くコツ
式を分けてから、必要な公式を選びます。
比較
| 形 | 読むこと | 使う公式 |
|---|---|---|
| Σk | 1乗の和 | 自然数の和 |
| Σk² | 2乗の和 | 平方数の和 |
| Σk³ | 3乗の和 | 立方数の和 |
形Σk
- 読むこと
- 1乗の和
- 使う公式
- 自然数の和
形Σk²
- 読むこと
- 2乗の和
- 使う公式
- 平方数の和
形Σk³
- 読むこと
- 3乗の和
- 使う公式
- 立方数の和
何乗の項を足しているかで選びます。
例
- 場面
- 1²+2²+...+10² を求める。
- 順に考えると
- 平方数の和なので、n=10をΣk²の公式へ入れます。10×11×21/6=385です。自然数の和を先に求めて2乗しません。
- ここが結論
- 和は385です。
注意
Σk² と (Σk)² は違う
要点
公式を選ぶ前の分類
基本公式は似ているため、先にΣの中の形を分類します。必要なら式を分け、k、k²、k³のどれに当たるかを見ます。
- 1
Σの中だけを見る
- 2
1乗・2乗・3乗を判定
- 3
上端nを確認する
- 4
係数は後で掛ける
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| Σk | 自然数の和 | 平方数の和と混ぜる |
| Σk² | 2乗した項の和 | (Σk)²と考える |
| Σk³ | 立方数の和 | 3Σkと読む |
見る点Σk
- 正しい読み
- 自然数の和
- よくあるずれ
- 平方数の和と混ぜる
見る点Σk²
- 正しい読み
- 2乗した項の和
- よくあるずれ
- (Σk)²と考える
見る点Σk³
- 正しい読み
- 立方数の和
- よくあるずれ
- 3Σkと読む
公式を覚えていても、どの形に使うかを誤ると計算全体がずれます。まず形を声に出して読みます。
要点
和の公式を使う答案
自然数・平方数・立方数の和では、どの形の和かを先に分類します。nに何を入れるか、最後の数がnと一致しているかを確認します。 最後に小さいnで検算します。
- 1
項の形を見分ける
- 2
最後の数をnにする
- 3
対応する公式を選ぶ
- 4
小さいnで検算する
確認
確認テスト
Q1
Σₖ₌₁ⁿ k² に使う公式はどれですか。
要点
使うときのコツ
複雑な式は、Σの性質で分けてから公式に当てはめます。
- 1
Σの中を見る
- 2
何乗の和か決める
- 3
上端nを確認する
- 4
必要なら式を分ける
まとめ
まとめ
- 1
基本公式は形で選ぶ
- 2
Σkは自然数の和
- 3
Σk²は平方数の和
- 4
Σk³は立方数の和
- 5
小さいnで公式を検算する
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