イントロ
部分分数分解で消える和
長い分数の和を端だけにする
分数の和は、全部を大きく通分するより、項を分解して中間を消すと見通しがよくなることがあります。残る端を読むのが大切です。
1 / 14 ブロック8%
イントロ
上下にスクロールするかキーボードの上下キーを使うと、次の学習カードへ進めます。
定義
消える和
- 教科書では
- 展開すると中間項が打ち消し合い、最初と最後の項だけが残る和があります。
- 言いかえると
- 1/{k(k+1)}は1/k-1/(k+1)に分解できます。これをΣで足すと、隣同士に同じ分数が反対符号で現れます。
公式
基本の分解
連続する積の分母でよく使います。
分解
1{k(k+1)} = 1k - 1(k+1)
1つの分数を差の形にします。
使うときのコツ
最初の数項を書いて消え方を見ます。
解くコツ
分解したら、すぐ計算せず展開して残る端を確認します。
手順
解く手順
- 1
1項を分解する
- 2
最初の数項を展開する
- 3
消える中間項を見る
- 4
残る端だけ計算する
例
- 場面
- Σₖ₌₁⁵ 1/{k(k+1)} を求める。
- 順に考えると
- (1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/5-1/6)と展開します。中間が消えて、1-1/6=5/6だけが残ります。
- ここが結論
- 和は5/6です。
注意
全部を通分しようとしない
要点
消える前に端を見る
望遠和では中間項が消えるため、最初と最後を省略しすぎると答えの端を失います。展開を短く書くときも端だけは残します。
- 1
1項を差に分ける
- 2
最初の2項を書く
- 3
最後の項を書く
- 4
残る端を符号つきで読む
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 分解 | 差の形にする | 大きく通分する |
| 中間項 | 同じ大きさで消える | 全部残して計算する |
| 端の項 | 最初と最後が残る | 最後の符号を落とす |
見る点分解
- 正しい読み
- 差の形にする
- よくあるずれ
- 大きく通分する
見る点中間項
- 正しい読み
- 同じ大きさで消える
- よくあるずれ
- 全部残して計算する
見る点端の項
- 正しい読み
- 最初と最後が残る
- よくあるずれ
- 最後の符号を落とす
消える構造が見えると、長い分数の和でもどこを計算すればよいかがはっきりします。
要点
消える和の答案
部分分数分解では、隣り合う項で何が消えるかを見せることが大切です。最初と最後に残る項を書き出すと、丸暗記より安定します。 消えた後に残る端の項だけを丁寧に書くと、符号ミスを見つけやすくなります。
- 1
部分分数に分ける
- 2
隣の項と打ち消す
- 3
最初と最後を残す
- 4
残った項だけを整理
確認
確認テスト
Q1
Σₖ₌₁⁴ 1/{k(k+1)} で最後に残る形はどれですか。
要点
残る端の読み方
展開を省略しすぎると端を間違えます。
- 1
最初の2項を書く
- 2
最後の1項を書く
- 3
同じ分数を消す
- 4
符号つきで端を残す
まとめ
まとめ
- 1
部分分数分解で差にする
- 2
展開して消える項を見る
- 3
残るのは端の項
- 4
符号を最後まで追う
- 5
残る端の項を明示する
次に進む
この流れのまま学習を広げる
理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。