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不等式が表す領域
境界線と塗る側を決める
不等式は、座標平面上の点の集まりを表します。等号で境界を描き、代表点を代入して塗る側を決めます。
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定義
不等式の表す領域
- 教科書では
- 不等式を満たす点を座標平面上に集めた範囲です。
- 言いかえると
- まず不等式を等号にして境界線を描きます。そのあと代表点を代入し、成り立つ側を塗ります。等号の有無で境界の扱いも変わります。
公式
基本の領域
方程式を境界として、不等式が片側を選びます。
直線の片側
y>mx+n
直線 y=mx+n を境界とする一方の領域。
円の内部
(x-a)2+(y-b)2<r2
中心からの距離が半径より小さい点の集合。
解くコツ
代表点を代入して、成り立つ側を選びます。
手順
領域を描く手順
- 1
等号にして境界を描く
- 2
等号ありなしを確認する
- 3
代表点を代入する
- 4
成り立つ側を塗る
要点
境界の扱い
境界線を描く作業と、どちら側を塗るかの判断を分けます。等号の有無、代表点の代入、塗る側の3つを別々に確認すると、符号だけの早合点を防げます。
- 1
等号ありは境界を含む
- 2
等号なしは境界を含まない
- 3
迷ったら原点などを代入
要点
境界と塗る側を分ける
不等式の領域では、最初に等号で境界を描きます。その後、代表点を代入して成り立つ側を塗ります。 境界上の点を含めるかどうかも、必ず最後に見直します。 塗ったあとに、選んだ代表点が本当に領域に入っているかをもう一度代入します。
- 1
等号にして境界を描く
- 2
等号ありなら境界を含む
- 3
代表点を代入する
- 4
成り立つ側だけを塗る
例
- 場面
- y>2x-1 の表す領域を考える。
- 順に考えると
- 境界線は y=2x-1。代表点 (0,0) を代入すると 0>-1 が成り立つので、原点側を塗ります。等号なしなので境界は含みません。
- ここが結論
- 不等号の向きだけでなく、代表点で確認します。
手順
答えの確かめ方
- 1
境界線を正しく描く
- 2
実線か破線か確認する
- 3
代表点を1つ選ぶ
- 4
不等式に代入して側を決める
- 5
塗った側が図の条件と合うか見る
要点
不等式は点の集合
不等式は一つの値だけでなく、条件を満たす点の集まりを表します。境界線は、その集まりを分ける基準です。
- 1
方程式は境界を表す
- 2
不等式は境界の片側を選ぶ
- 3
代表点で側を決める
- 4
等号の有無で境界が変わる
注意
上か下かを決めつけない
確認
確認テスト
Q1
y>2x-1 で、点 (0,0) は領域に入りますか。
まとめ
まとめ
- 1
不等式は点の集まりを表す
- 2
等号で境界を描く
- 3
代表点で塗る側を決める
- 4
等号の有無で境界の扱いが変わる
- 5
境界と塗る側を別々に決める
- 6
代表点で塗る側を検算
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