組合せの使い方と余事象

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イントロ

反対が簡単なら全体から引く

『少なくとも1つ』のような条件は、直接場合分けすると長くなることがあります。反対の場合が簡単なら、全体から除くと見通しがよくなります。条件を正面から数える前に、反対側が短い言葉で言えるかを試すと、計算の方針が立ちます。

定義

全体集合のうち、ある集合に属さない要素の集合をといいます。
同じ考え方で: 少なくとも1人女子を含むなら、反対は女子が0人です。場合の数では全体から反対の場合を引きます。同じ考えを確率へ移すと、ある事象が起こらない場合は余事象として扱います。

要点

は楽をするためだけでなく、漏れを防ぐための考え方です。「少なくとも」の反対条件を短く言えるときは、全体から反対を引く方が安定します。数える単位が全体とそろっているかも確認します。

比較

方針直接数える

方針余事象を使う

方針確認する

確率では、速さだけでなく漏れを減らすためにを選びます。

公式

場合の数でも確率でも使う見方です。

補集合で数える

条件を満たす数 = 全体 - 反対の場合

直接数えるより反対が簡単なときに使う。直接数えにくい条件を、全体から条件を満たさない場合を除いて求める形です。

使うときのコツ

反対条件を作るときは、『少なくとも1つ』を『0個』のように正確に言い換えます。

解くコツ

反対の場合を言葉で正しく作ります。

例

場面: 男子4人、女子3人から3人選ぶ。少なくとも1人女子を含む選び方。
順に考えると: 全体は7人から3人を選ぶで、₇C₃通りです。反対は女子が0人、つまり男子だけ3人を選ぶ₄C₃通りなので、₇C₃-₄C₃で求めます。直接なら女子1人、2人、3人をそれぞれ足しますが、今回は反対の男子だけ3人が1つで済みます。
ここが結論: 『少なくとも』は反対から見ると短くなることがあります。直接計算した結果と一致するので、余事象は別解としても検算としても使えます。

注意

確認

『少なくとも1個は当たり』の反対の場合はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

試行、事象、標本空間を整理し、論理的な確率と多数回の試行から見る頻度確率の違いを理解します。