組合せと nCr

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イントロ

選ぶだけなら順序を区別しない

組合せは、選ばれたメンバーが同じなら順番を区別しない数え方です。順列との違いは、並びの違いを別に見るかどうかです。委員や班のように役割が同じなら、選ばれた集合だけが結果になります。

定義

教科書では: n個からr個を選ぶとき、順序を区別しない場合の数です。
言いかえると: A,B,Cを選ぶこととC,B,Aを選ぶことは、委員を選ぶだけなら同じ結果です。順列で数えた後、同じ組の並び替えr!通りをまとめます。 nCrは、順列でいったん並べて数えたものを、同じ組の並び替えr!通りで割る考えです。式の前に『入れ替えたら同じか』を確かめます。

公式

順列を並べ替え分で割ります。組合せは『順序を捨てる』数え方です。

組合せ

nCr = nPrr!

n個からr個を順序なしで選ぶ数。順序つきで数えたnPrを、選んだr個の並び替えr!で割って同じ組にまとめます。

階乗の形

nCr = n! ÷ r!(n-r)!

計算でよく使う組合せの形。 n個からr個を選ぶ数を階乗だけで書いた形です。計算では約分して小さくすると楽です。

解くコツ

役職や順位がなければ組合せを考えます。計算ではnPrを先に出してからr!で割る方法と、階乗式を約分する方法を使い分けます。

手順

比較

場面委員を3人選ぶ

場面委員長と副委員長を選ぶ

場面1列に並べる

同じメンバーで順序を入れ替えたとき、別結果かを考えます。役職がある場合は順列、同じ立場のメンバーを選ぶだけなら組合せです。

例

場面: 5人から3人の委員を選ぶ。
順に考えると: 3人の並び順は考えないので組合せです。₅C₃=₅P₃/3!=60/6=10通りです。 ₅P₃=60は、同じ3人の並び替えを6通りずつ含んでいます。その6通りを1つにまとめるので10通りです。
ここが結論: 選ぶだけなら、同じ3人の並び替えを1つにまとめます。 10通りは、5人の中からできる3人組の種類を数えたものです。

注意

確認

5人から3人の委員を選ぶだけの式はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

少なくとも1つを含むような条件で、直接数えるか補集合で数えるかを例題で判断します。