独立な試行と反復試行

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イントロ

複数回の偶然を掛けて考える

コインを何回も投げるような場面では、各回の結果が次の回に影響しないことがあります。独立なら、続けて起こる確率を掛けて考えます。反復試行では、結果の並びを数える部分と、1つの並びが起こる確率を掛ける部分を分けます。

定義

一方の結果が他方の確率に影響しない試行をといいます。
言葉を分けると: コインを投げる1回目の結果は、2回目の表の確率を変えません。このようなとき、続けて起こる確率は各確率の積で求めます。独立なら、前の結果を知っても次の確率は変わりません。ただし『表が2回』のような条件では、どの回が表かという並び方も数える必要があります。

公式

基本はを掛けることです。まず1つの並びを作り、その後で並び方の数を掛けます。

独立な2事象

P(A∩B)=P(A)P(B)

AとBが独立なら、両方起こる確率は積。 AとBが独立なら、AもBも起こる確率はそれぞれの確率の積です。

反復試行

nCr p^r(1-p)^n-r

n回中r回成功する基本形。 n回中r回成功する位置の選び方と、成功・失敗の確率の積を合わせた形です。

解くコツ

並び方と各並びの確率を分けます。

比較

言葉独立

言葉排反

言葉反復試行

似た言葉を、確率が変わる話か同時に起こる話かで分けます。

要点

成功の位置を選ぶ部分にが出てきます。「表が2回」は結果の順番を1つに決めていないため、表の位置を選ぶ組合せが必要です。位置の数と1つの並びの確率を分けると、式の役割が読みやすくなります。

例

場面: コインを3回投げて表が2回出る確率。
順に考えると: 表が出る回の選び方は₃C₂通りです。1つの並び、例えば表表裏の確率は(1/2)³です。だから₃C₂×(1/2)³です。表表裏、表裏表、裏表表の3通りは互いに重ならないので、それぞれの確率をまとめて3倍していると読めます。
ここが結論: 並び方の数と、1つの並びの確率を分けて書きます。 ₃C₂は位置の数、(1/2)³は1つの並びの確率、と役割を分けて読みます。

注意

確認

コイン3回で表が2回出るとき、表の位置の選び方はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

条件が分かった後に標本空間が狭くなることを使い、条件付き確率の分母を読み替えます。