同じものを含む順列

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イントロ

見た目が同じ並びを重複させない

同じ文字や同じカードがあると、入れ替えても見た目が変わらない並びがあります。まず区別して数え、同じものの入れ替え分を戻します。同じものがある問題では、まず『見た目で区別できる結果』を答えるのだと確認します。

定義

教科書では: 同じ種類のものを含む並べ方を、重複を除いて数える方法です。
言いかえると: Aが2つあるとき、A1とA2を入れ替えても見た目は同じA,Aです。区別して数えた数から、同じもの同士の入れ替え分を割ります。 A1,A2のように印を付けて考えるのは途中計算のためです。最後は印を外すので、印の入れ替えだけで生じた重複を割って戻します。

公式

同じ種類ごとの階乗で割ります。分母には、同じ種類ごとの入れ替えの数を並べます。

基本形

n!(p!q!...)

全体n個のうち、同じものがp個、q個あるときの並べ方。 n個をいったん全部違うものとして並べ、同じ種類の内部で入れ替えた分をまとめる式です。

使うときのコツ

同じ種類が3個なら3!、2個なら2!を分母に入れます。種類ごとに別々に数えます。

解くコツ

同じ種類が何個ずつあるかを先に数えます。

要点

割るのは、余分に数えた同じ見た目の分です。どの種類が何個あるかを先に表にすると、分母に入れる階乗を落としにくくなります。同じ種類が複数あるときは、それぞれの入れ替え数で割ります。

例

場面: A,A,B,C の4文字を並べる。
順に考えると: AをA1,A2と区別すれば4!通りです。しかしA1とA2の入れ替えは同じ見た目なので2!で割ります。よって4!/2!=12通りです。 12通りという答えは、Aの2つの区別を外した後に残る見た目の並びの数です。
ここが結論: 同じものを区別したままにしないことがポイントです。印を付けた計算と、印を外した答えを分けて書くと混乱しにくくなります。

比較

文字A,A,B,C

文字A,A,B,B

文字A,B,C,D

同じ種類ごとに入れ替え分を確認します。分母は同じ種類の個数だけで決まり、違う種類同士の入れ替えは分子のn!に残します。

注意

確認

A,A,B,B,C を並べるとき、5!を何で割りますか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

順序を区別しない選び方を、順列との違いから理解し、nCrで基本例題を正しく求めます。