同じものを含む順列

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イントロ

見た目が同じ並びを重複させない

同じ文字や同じカードがあると、入れ替えても見た目が変わらない並びがあります。まず区別して数え、同じものの入れ替え分を戻します。同じものがある問題では、まず『見た目で区別できる結果』を答えるのだと確認します。

定義

同じものの入れ替えを同じ並びとみなして数える順列をといいます。
イメージすると: Aが2つあるとき、A1とA2を入れ替えても見た目は同じA,Aです。区別して数えた数から、同じもの同士の入れ替え分を割ります。 A1,A2のように印を付けて考えるのは途中計算のためです。最後は印を外すので、印の入れ替えだけで生じた重複を割って戻します。

公式

同じ種類ごとの階乗で割ります。分母には、同じ種類ごとの入れ替えの数を並べます。

基本形

n!(p!q!...)

全体n個のうち、同じものがp個、q個あるときの並べ方。 n個をいったん全部違うものとして並べ、同じ種類の内部で入れ替えた分をまとめる式です。

使うときのコツ

同じ種類が3個なら3!、2個なら2!を分母に入れます。種類ごとに別々に数えます。

解くコツ

同じ種類が何個ずつあるかを先に数えます。

要点

割るのは、余分に数えた同じ見た目の分です。どの種類が何個あるかを先に表にすると、分母に入れるを落としにくくなります。同じ種類が複数あるときは、それぞれの入れ替え数で割ります。

例

場面: A,A,B,C の4文字を並べる。
順に考えると: AをA1,A2と区別すれば4!通りです。しかしA1とA2の入れ替えは同じ見た目なので2!で割ります。よって4!/2!=12通りです。 12通りという答えは、Aの2つの区別を外した後に残る見た目の並びの数です。
ここが結論: 同じものを区別したままにしないことがポイントです。印を付けた計算と、印を外した答えを分けて書くと混乱しにくくなります。

比較

文字A,A,B,C

文字A,A,B,B

文字A,B,C,D

を数えた後、同じ種類ごとに入れ替え分を確認します。分母は同じ種類の個数だけで決まり、違う種類同士の入れ替えは分子のn!に残します。

注意

確認

A,A,B,B,C を並べるとき、5!を何で割りますか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

順序を区別しない選び方を、順列との違いから理解し、nCrで基本例題を正しく求めます。