集合の要素の個数と重複

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イントロ

重なりを1回だけ数える

2つの条件を合わせて数えると、両方に当てはまるものを2回数えてしまうことがあります。ベン図で重なりを見て、1回だけ数えるようにします。集合の問題では、人数や要素をいったん場所に分けると、式の意味を追いやすくなります。

定義

教科書では: 集合に入っている要素が何個あるかを表します。
言いかえると: AとBを合わせるとき、AにもBにも入る要素は足し算の中で2回数えられます。そのため、共通部分を1回引いて、全体では1回だけ数えます。共通部分を引くのは、そこにいる人を消すためではありません。二重に入った1回分だけを減らし、最終的に1人を1回として数えるためです。

公式

重なりのある足し算を調整します。

和集合の個数

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

AまたはBに入る個数は、AとBを足して重なりを1回引く。 2つの集合を合わせた個数を、足しすぎた共通部分を戻して求める式です。

使うときのコツ

重なりを0としてよいのは、共通部分がないと分かるときだけです。

解くコツ

共通部分を何回数えたかを確認します。

比較

考え方A+Bだけ

考え方A+B-共通

考え方全体と比べる

式だけでなく、重なりが何回数えられたかを言葉で確認します。

要点

ベン図に人数を書き込むと、二重カウントを見つけやすくなります。足す前に中央の人数を別枠に置くと、どこを引くのかが見えます。共通部分は消す対象ではなく、数えすぎを直す対象です。

例

場面: 数学好き12人、理科好き10人、両方好き4人。少なくとも一方が好きな人数を求める。
順に考えると: 12人と10人を足すと、両方好きな4人を2回数えています。だから12+10-4=18人です。ベン図では、両方好きな4人を中央に置いてから、数学だけ8人、理科だけ6人、中央4人と読んでも同じ18人になります。
ここが結論: 重なりは消すのではなく、2回を1回に戻します。計算後は、数学だけ・理科だけ・両方の3部分を足して同じ人数になるか検算できます。

注意

確認

n(A)=12, n(B)=10, n(A∩B)=4 のとき、n(A∪B) はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

異なるものを1列に並べるとき、候補が1つずつ減る積として階乗と順列を理解します。