和の法則・積の法則

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イントロ

足すか掛けるかを場面で決める

場合の数では、数字を見てすぐ足す・掛けるのではなく、選択の関係を読みます。どちらか一方なら和、順に両方決めるなら積です。迷ったら問題文を『AまたはB』と『AをしてからB』に言い換えます。

定義

教科書では: 重ならない選択肢を合わせるときは足し、段階的な選択を続けるときは掛けます。
言いかえると: AかBのどちらか一方を選ぶなら、Aの通り数とBの通り数を足します。Aを選んだ後にBも選ぶなら、各段階の通り数を掛けます。和の法則では同じ結果を別の入口から数えていないか、積の法則では各段階が独立に続いているかを確認します。

比較

場面どちらか一方

場面両方を順に決める

場面場合が重なる

先に問題文を言い換えると、式を選びやすくなります。

手順

公式

場面に合わせて使い分けます。公式は短いですが、使う前の場面判断が得点を分けます。

和の法則

m + n

重ならない2つの場合を合わせる。 AとBが同時に選ばれない別ルートなら、全体はそれぞれの通り数の合計です。

積の法則

m × n

1段目と2段目を順に決める。 Aを決めた後にBも決めるなら、Aの各結果にBの選び方がぶら下がります。

解くコツ

式の前に『一方か、両方か』を確認します。先に樹形図を小さく描くと、足す場面か掛ける場面かが見えやすくなります。

例

場面: A駅へ行く方法はバス3通りか電車2通り。服は上3通りと下2通り。
順に考えると: 交通手段はバスか電車のどちらかなので3+2=5通りです。服装は上と下を両方決めるので3×2=6通りです。交通手段はバスと電車を同時に使うわけではない一方、服装は上と下がそろって初めて1通りになります。
ここが結論: 同じ2つの数字でも、場面で演算が変わります。答えだけでなく、なぜ足したか・掛けたかを一言で説明できる状態を目標にします。

注意

確認

上着4通りとズボン3通りを両方選ぶ。使う考えはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

2つの集合を合わせて数えるとき、共通部分を二重に数えないように調整する考えを学びます。