樹形図と表でもれなく数える

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イントロ

公式の前に全体を見える化する

場合の数では、まず何を1通りと見るかを決めます。樹形図や表で選択を整理すると、数え忘れや同じものの二重カウントを防ぎやすくなります。数が少ない問題ほど、ここで数える単位をそろえる練習に向いています。

定義

教科書では: 起こり得る結果が全部で何通りあるかを表す数です。
言いかえると: ただ思いついた順に書くと、抜けや重複が起こりやすくなります。樹形図は選択の段階を枝で表し、表は2つの条件を縦横に並べて、全体を見やすくします。何を行、列、枝に置くかを先に決めると、後で式に直すときも理由を説明できます。

手順

要点

樹形図や表は、すべてを書き出すためだけではありません。軸や段階を決めることで、あとで積の法則や組合せを使うときにも同じ単位で数えられます。図は答えそのものではなく、数える単位をそろえる道具です。答案では、表なら1マス、樹形図なら1本の終点が何を表すかを一言で残します。

例

場面: シャツが赤・青・白の3通り、ズボンが黒・灰の2通りある。
順に考えると: シャツを1段目、ズボンを2段目にすると、赤に黒・灰、青に黒・灰、白に黒・灰がつながります。全部で6本の終点があるので6通りです。途中で書き方を変えず、必ずシャツを先に書くと決めると、同じ服装を別名で数えにくくなります。
ここが結論: 段階を分けると、全部を落ち着いて確認できます。検算では、表の3行×2列と樹形図の6本が一致するかを見ます。

注意

確認

シャツ3通り、ズボン2通りの組を表で数えるとき、1つのマスは何を表しますか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

どちらか一方を選ぶ場面は足し、段階的に両方を決める場面は掛けるという基本を整理します。