イントロ
角の二等分線と辺の比
角の印から辺の比を読む
三角形の角を半分に分ける線は、向かいの辺を適当に分けるのではありません。角をはさむ2辺の長さの比と、向かいの辺の分け方が対応します。
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外観
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定義
角の二等分線の定理
- 教科書では
- 三角形 ABC で AD が ∠A の二等分線ならBD:DC=AB:ACです。外角の二等分線が直線BCとEで交わるときもBE:EC=AB:ACです。
- 言いかえると
- 内角の二等分線は向かいの辺上で内分し、外角の二等分線は辺の延長上で外分します。どちらも見るべきなのは、二等分された角をはさむ2辺ABとACです。中線のように必ず半分へ分けるわけではなく、点が辺上か延長上かも図で確認します。
公式
角の二等分線の比
角を二等分している印があるときに使います。
内角の二等分線
BD:DC = AB:AC
向かいの辺の分け方は、角をはさむ2辺の比と同じです。
使うときのコツ
D は BC 上の点として読む。
外角の二等分線
BE:EC = AB:AC
外角を二等分する線が辺の延長と交わるとき、外分された長さも隣り合う2辺の比になります。
使うときのコツ
E が線分 BC の外側にあることを先に確認する。
解くコツ
角の印を見つけたら、内角か外角か、交点が辺上か延長上かを確認してから対応する比を書きます。
要点
図で見る順番
辺の比は、図の位置関係とセットで読みます。
- 1
二等分されている角を確認する
- 2
その角をはさむ2辺を探す
- 3
交点が辺上か延長上かを見る
- 4
中線の 1:1 と混同しない
例
- 場面
- AB=6、AC=9、BC=10。AD が ∠A の二等分線のとき BD と DC を求める。
- 順に考えると
- 定理より BD:DC=AB:AC=6:9=2:3 です。BC 全体は 10 なので、2:3 の合計 5 等分として考えます。1等分は 2、したがって BD=4、DC=6 です。 答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
- ここが結論
- 角の二等分線は、向かいの辺を隣の2辺の比に分けます。
比較
| 線 | 作り方 | 向かいの辺 |
|---|---|---|
| 中線 | 頂点と向かいの辺の中点を結ぶ | 1:1 に分ける |
| 角の二等分線 | 角を2つの等しい角に分ける | 隣り合う2辺の比に分ける |
線中線
- 作り方
- 頂点と向かいの辺の中点を結ぶ
- 向かいの辺
- 1:1 に分ける
線角の二等分線
- 作り方
- 角を2つの等しい角に分ける
- 向かいの辺
- 隣り合う2辺の比に分ける
線の名前が違えば、使える性質も違います。
注意
中線とは別の性質
要点
答案に残す一言
図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。
- 1
使う条件を図で確認する
- 2
等しい長さ・角・比・位置関係を言葉にする
- 3
定理名だけでなく、使える理由を短く添える
- 4
求めた値や角を元の図へ戻して確かめる
確認
確認テスト
Q1
AD が ∠A の二等分線です。AB=8、AC=12 のとき、BD:DC はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
内角では辺上、外角では延長上の比を読む
- 2
BD:DC は AB:AC に対応する
- 3
中線の 1:1 と混同しない
- 4
性質を使う前に、図の条件と根拠を確認する
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