外心と垂直二等分線

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イントロ

3つの頂点を通る円の中心

三角形の3つの頂点をすべて通る円を考えると、その中心が外心です。外心は見た目の真ん中ではなく、三辺の垂直二等分線の交点として決まります。

定義

教科書では: 三角形の三辺の垂直二等分線が交わる点です。外心から3つの頂点までの距離は等しくなります。
言いかえると: 垂直二等分線上の点は、線分の両端から等しい距離にあります。だから、AB の垂直二等分線上なら A と B から等距離、AC の垂直二等分線上なら A と C から等距離です。2本の交点では、A, B, C までの距離がそろいます。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

要点

外心の位置は、三角形の形によって変わります。

例

場面: AB と AC の垂直二等分線の交点を O とする。
順に考えると: O は AB の垂直二等分線上にあるので OA=OB です。また、O は AC の垂直二等分線上にあるので OA=OC です。したがって OA=OB=OC となり、O を中心に A, B, C を通る円を描けます。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 2本の垂直二等分線で、3頂点までの等距離が決まります。

比較

三角形の形鋭角三角形

三角形の形直角三角形

三角形の形鈍角三角形

外心は必ずしも三角形の中にありません。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

外心について正しい説明はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

内心を角の二等分線の交点として捉え、3つの辺までの距離が等しいことを整理します。