円周角と同じ弧

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イントロ

円では弧を見ると角が分かる

円の角度問題では、角の形だけを見るより、その角がどの弧を見ているかを探す方が安全です。同じ弧を見込む円周角は等しくなります。

定義

教科書では: 円周上の点を頂点とし、円上の2点を結ぶ2本の線でできる角です。
言いかえると: 円周角で大事なのは、角の頂点よりも、その角がはさんでいる弧です。同じ弧を見込む円周角は、頂点が違っても等しくなります。また、同じ弧に対する中心角は円周角の2倍です。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

要点

角の頂点が近いかどうかではなく、見ている弧で判断します。弧を共有していない角は、同じ円の中にあっても等しいとは限りません。必ず弧を確認します。

比較

角	頂点	同じ弧との関係
円周角	円周上	同じ弧なら等しい
中心角	円の中心	円周角の2倍

角円周角

角中心角

円周角と中心角は、同じ弧を見ているときに対応します。

例

場面: 中心角 ∠AOB が 100° のとき、同じ弧 AB を見込む円周角を求める。
順に考えると: 中心角は、同じ弧を見込む円周角の2倍です。したがって円周角は 100°÷2=50° です。別の点 Q から同じ弧 AB を見ても、円周角は同じく 50° になります。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 中心角と円周角は、同じ弧を見ているかを確認してから使います。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

同じ弧 AB を見込む円周角について正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

4つの頂点が同じ円上にある四角形で、対角の和が180°になることと内接判定の入口を整理します。