メネラウスの定理

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イントロ

一直線を比で確かめる

メネラウスの定理は、三角形を1本の直線が横切るときに使います。チェバと同じように比を使いますが、見る図の形は `一点` ではなく `一直線` です。

定義

教科書では: 三角形の3つの辺またはその延長上の点が一直線上にあるとき、対応する3つの線分比の積が1になります。
言いかえると: メネラウスでは、1本の直線が三角形を横切っているかを先に見ます。点が辺の延長上に出ることもありますが、初学者の段階では符号に深く入りすぎず、図に示された比の対応を丁寧に追います。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

公式

比の向きを図で決めてから使います。

一直線の条件

BDDC ・ CEEA ・ AFFB = 1

D, E, F が辺または延長上にあり、3点が一直線上にあるときの初学者向けの形です。

使うときのコツ

外分を含む図では、点の位置を特に確認する。

解くコツ

公式だけを見るとチェバに似ています。図の形で選びましょう。

要点

一直線がキーワードです。

例

場面: 横切る直線上の3点のうち、2つの比が 2:3 と 3:5 と分かっている。
順に考えると: メネラウスの条件では、3つの比の積が 1 になるように残りの比を決めます。たとえば (2/3)×(3/5)×x=1 なら、前の2つの積は 2/5 なので x=5/2 です。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 未知比は、一直線の条件を保つように決まります。

比較

見る形	定理	ひとこと
3本が1点に集まる	チェバ	一点交会
1本が3点を通る	メネラウス	一直線

見る形3本が1点に集まる

見る形1本が3点を通る

定理名より先に、図の形を言葉にします。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

辺や延長上の3点 D, E, F が一直線上にあることを使いたい。考える定理はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

円周角を、頂点の位置ではなく見込む弧から読む方法と、中心角との関係を整理します。