方べきの定理

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イントロ

円の長さを積でつなぐ

円と直線が交わる図では、角度だけでなく長さにも特別な関係があります。同じ点から円へ伸びる線分の積が等しくなる性質を使います。

定義

方べきの定理

教科書では: 1つの点から円に引いた2本の直線について、円との交点までの線分の積が等しくなる定理です。
言いかえると: 外部の点 P から円に2本の割線を引くと、近い交点までの長さと遠い交点までの長さの積が、もう一方の割線でも等しくなります。接線の場合は、接線の長さの2乗として表せます。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

外部点から2本の割線を引き、対応する線分積が等しいことを示す図 — 方べきでは、同じ点から円へ向かう線分をペアで掛けます。近い線分どうしを適当に組にしないようにします。

公式

方べきの基本形

図の点名と線分を確認してから式を書きます。

2本の割線

PA・PB = PC・PD

P から円へ向かう2本の直線で、近い交点と遠い交点までの積が等しくなります。

接線と割線

PT² = PA・PB

PT が接線なら、接線の長さの2乗が割線の積に等しくなります。

解くコツ

同じ点 P から出ている線分を探します。

要点

式を立てる前に

和ではなく積の関係です。

1
円の外または中の基準点を決める
2
その点から円へ伸びる直線を2本見る
3
各直線で近い点と遠い点を確認する
4
線分の積を等しくする

例

場面: PA=3、PB=12、PC=4 のとき、PD を求める。
順に考えると: 方べきの定理より PA・PB=PC・PD です。3×12=4×PD なので、36=4PD、PD=9 です。式に入れる線分は、同じ点 P から各交点までの長さです。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 線分を正しく選べれば、計算は比例式になります。

比較

型	式の見方	注意
2本の割線	PA・PB=PC・PD	遠い交点まで含める
交わる弦	内部点から両側の積	同じ直線上の2部分を掛ける
接線と割線	PT²=PA・PB	接線は同じ長さを2回掛ける

型2本の割線

式の見方: PA・PB=PC・PD
注意: 遠い交点まで含める

型交わる弦

式の見方: 内部点から両側の積
注意: 同じ直線上の2部分を掛ける

型接線と割線

式の見方: PT²=PA・PB
注意: 接線は同じ長さを2回掛ける

型が違っても、線分の積を見る点は同じです。

注意

足し算ではなく掛け算

要点

答案に残す一言

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

1
使う条件を図で確認する
2
等しい長さ・角・比・位置関係を言葉にする
3
定理名だけでなく、使える理由を短く添える
4
求めた値や角を元の図へ戻して確かめる

確認

確認テスト

外部点 P から円に2本の割線 PAB と PCD を引きました。正しい式はどれですか。

まとめ

1
方べきは円と直線が作る線分積の定理
2
同じ点から円へ伸びる線分を読む
3
接線の場合は接線長の2乗になる
4
性質を使う前に、図の条件と根拠を確認する

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

図形の性質

2つの円と共通接線

2つの円の位置関係を、中心間距離と半径の和・差から分類し、共通接線の本数の見通しにつなげます。