イントロ
移動を表す漸化式モデル
今いる場所から次の場所への割合を足し合わせる
人や物が場所の間を移るとき、次時点の量は各場所から流れ込む量の和で表せます。割合を係数にした漸化式で繰り返し変化を追います。
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定義
移動割合による漸化式
- 教科書では
- 各時点の量に、次時点で各場所へ移る割合を掛けて、行き先ごとに足した更新式です。
- 言いかえると
- Aに残る量もBからAへ来る量も、次時点のAへ入る流れです。元の場所ではなく行き先ごとに集めます。外部との出入りがないモデルなら、AとBを合わせた総量は更新前後で同じになります。
公式
二地点の更新式
AからA・Bへ30%・70%、BからA・Bへ40%・60%移るとします。
次時点の量
At+1=0.3At+0.4Bt, Bt+1=0.7At+0.6Bt
次の行き先へ流れ込む量を、出発地ごとに足します。
- Aₜ時点tのAの量
- Bₜ時点tのBの量
- 0.3、0.7AからA・Bへの割合
- 0.4、0.6BからA・Bへの割合
使うときのコツ
出発地ごとの割合は、どちらも合計1です。
総量保存
At+1+Bt+1=At+Bt
外部との出入りがなければ、二地点の合計は変わりません。
- 総量AとBにある量の合計
使うときのコツ
更新前後の総量が一致するか確かめます。
解くコツ
矢印に出発地×割合を書き、行き先ごとに足します。
手順
更新式を作る5手順
- 1
各場所の現在量と、矢印の向きを定める
- 2
各出発地から出る割合の合計が1か確認する
- 3
各矢印に出発地の量×移動割合を書く
- 4
同じ行き先へ入る流れを足す
- 5
非負性と更新前後の総量で検算する
比較
| 流れ | 計算 | 台数 |
|---|---|---|
| A→A | 0.3×60 | 18 |
| B→A | 0.4×40 | 16 |
| A→B | 0.7×60 | 42 |
| B→B | 0.6×40 | 24 |
流れA→A
- 計算
- 0.3×60
- 台数
- 18
流れB→A
- 計算
- 0.4×40
- 台数
- 16
流れA→B
- 計算
- 0.7×60
- 台数
- 42
流れB→B
- 計算
- 0.6×40
- 台数
- 24
列では出発地の量を割合で分け、行では同じ行き先への流入を合計します。
例
- 場面
- 時点tでAに60台、Bに40台の自転車がある。上の割合で1時点後を求める。
- 順に考えると
- At+1=0.3×60+0.4×40=18+16=34です。Bt+1=0.7×60+0.6×40=42+24=66です。どちらも非負で、34+66=100は元の60+40=100と一致します。
- ここが結論
- 次時点はAが34台、Bが66台です。
注意
出発地と行き先を逆にしない
確認
確認テスト
Q1
Aₜ=80、Bₜ=20のとき、同じ移動割合でAt+1はいくつですか。
まとめ
まとめ
- 1
次時点の量は同じ行き先への流入の和
- 2
係数は出発地の量へ掛ける
- 3
出発地ごとの割合の合計を確認する
- 4
閉じたモデルでは総量保存で検算する