イントロ
散布図を関数で近似する
点を全部通すのではなく、傾向とずれを一緒に読む
散布図の点の並びを簡単な関数で近似すると、二つの量の関係を要約して予測できます。点とモデルの縦の差である残差も、モデルの限界を示します。
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定義
関数による近似
- 教科書では
- 散布図の全体傾向を表す直線や曲線を選び、入力から出力の代表的な値を予測することです。
- 言いかえると
- 実際のデータには個人差や測定誤差があるため、一つの関数が全点を通るとは限りません。モデルの傾きは平均的な変化、残差は各点が予測からどれだけずれたかを表します。散布図の形と目的に合う単純なモデルを選びます。
公式
近似値と残差
教材用の通学距離x kmと通学時間y分の散布図を考えます。
説明用の近似直線
ŷ=1.25x
このデータ範囲では、距離が1 km増えると通学時間の代表値が約1.25分増えるという近似です。
- x通学距離、単位km
- ŷモデルによる通学時間の予測値、単位分
使うときのコツ
この係数は教材用データからの近似で、一般的な移動速度を表す法則ではありません。
残差
残差＝観測値y−予測値ŷ
正なら点はモデルより上、負なら下にあります。
- y実際に観測した値
- ŷ関数モデルが予測した値
使うときのコツ
残差が入力の大きさに応じて曲線状に並ぶなら、直線以外を検討します。
解くコツ
散布図→形の候補→係数の意味→残差→適用範囲の順に評価します。
手順
散布図からモデルを選ぶ
- 1
軸の変数・単位・観測範囲を確認する
- 2
点群が直線、曲線、周期などどの形に近いか見る
- 3
目的に十分な単純な関数を候補にする
- 4
係数を文脈と単位で解釈する
- 5
残差の大きさと並び、外れた点、範囲外予測を評価する
比較
| 使い方 | 位置 | 注意 |
|---|---|---|
| 内挿 | 観測したxの範囲内 | データの支えが比較的ある |
| 外挿 | 観測範囲の外 | 関係が続く保証が弱い |
| 残差 | 点と予測の縦差 | 正負と大きさを両方見る |
使い方内挿
- 位置
- 観測したxの範囲内
- 注意
- データの支えが比較的ある
使い方外挿
- 位置
- 観測範囲の外
- 注意
- 関係が続く保証が弱い
使い方残差
- 位置
- 点と予測の縦差
- 注意
- 正負と大きさを両方見る
予測式だけでなく、元の散布図と観測範囲を常に一緒に示します。
例
- 場面
- 教材用データをŷ=1.25xで近似する。通学距離8 kmの生徒の実測時間が13分だった。
- 順に考えると
- 予測値はŷ=1.25×8=10分です。残差は13−10=3分で、点は直線より3分上にあります。この差は信号、交通手段、待ち時間など距離以外の要因を含む可能性がありますが、1点だけから原因は決められません。
- ここが結論
- 予測10分、残差+3分です。
注意
直線を観測範囲の外へ伸ばしすぎない
確認
確認テスト
Q1
予測値ŷ=20、観測値y=17のとき、残差y−ŷはいくつですか。
まとめ
まとめ
- 1
散布図の全体形と目的から関数を選ぶ
- 2
係数は単位付きで文脈へ戻す
- 3
残差は観測値−予測値
- 4
内挿と外挿、関連と因果を区別する