帰納法で等式を証明する

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イントロ

kまでの式に次の項を足す

等式の帰納法では、n=kで成り立つ式を仮定し、そこに次の項を足してn=k+1の形へ変形します。仮定を使う場所を明確にすることが、答案の中心です。

定義

等式の帰納法

教科書では: 自然数nに関する等式を、基底段階と帰納段階で証明する方法です。
言いかえると: 和の公式では、kまでの和にk+1を足すとk+1までの和になります。帰納法の仮定を、左辺の一部を置き換えるために使います。最終的に、n=k+1を入れた右辺と同じ形に整えます。

kまでの和にk+1を足してk+1の場合の式へ進む図 — kまでの式を仮定として使い、新しく増えたk+1の項を足して次の段階へ進みます。増えた項だけを分けるのが出発点です。

手順

証明の流れ

1
n=1で成り立つか確認する
2
n=kで成り立つと仮定する
3
左辺にk+1を足す
4
仮定を使って右辺を整理する
5
n=k+1の形になったと結論づける

比較

段階	見る式
n=kの仮定	1+2+...+k=k(k+1)/2
n=k+1の左辺	1+2+...+k+(k+1)
n=k+1の右辺	(k+1)(k+2)/2

段階n=kの仮定

見る式: 1+2+...+k=k(k+1)/2

段階n=k+1の左辺

見る式: 1+2+...+k+(k+1)

段階n=k+1の右辺

見る式: (k+1)(k+2)/2

帰納段階では、kまでの和を仮定で置き換え、最後にk+1の場合の右辺を作ります。

公式

証明したい等式

自然数の和の公式を例にします。左辺に次の項が1つ増える形を見ます。

目標

1+2+...+n=n(n+1)2

1からnまでの和を、nの式で表す公式です。帰納法では、kまでの和からk+1までの和へ進めます。

n自然数
k仮定する段階

使うときのコツ

k+1の場合を作ります。

解くコツ

左辺をkまでの和と、追加のk+1に分けます。仮定より置き換えた後、分母をそろえて因数分解します。

例

場面: 1+2+...+n=n(n+1)/2 を帰納法で示す。
順に考えると: n=kで 1+...+k=k(k+1)/2 と仮定します。k+1までの和は、まず 1+...+k+(k+1) と書きます。仮定より k(k+1)/2+(k+1) となり、整理すると (k+1)(k+2)/2 です。
ここが結論: これはn=k+1を入れた右辺なので、仮定を使って次の等式へ進めました。

注意

仮定を書くだけで終わらない

要点

答案の合図

帰納段階では、仮定と目標の両方を見比べます。今あるkまでの式と、作りたいk+1の式の差を探します。

1
n=kの場合を仮定する
2
n=k+1の左辺から始める
3
仮定でkまでの和を置き換える
4
最後にk+1の右辺を作る

確認

確認テスト

kまでの和からk+1までの和を作るには、何を足しますか。

まとめ

1
等式の帰納法は仮定を使う
2
kまでの左辺にk+1を足す
3
仮定でkまでの和を置き換える
4
n=k+1の右辺へ整理する
5
基底段階も忘れない

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

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