漸化式と数学的帰納法

トピック12

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事象の変化を漸化式で表すこと、簡単な漸化式の一般項、数学的帰納法による証明を整理していくカテゴリです。

トピック

すぐに学べるトピック

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漸化式を前の項から次の項を決める式として読み、初期条件とセットで数列が決まることを学びます。

初期条件と漸化式を使い、前に求めた項を次の式へ入れて指定された項まで順に計算します。

aₙ₊₁=aₙ+d の形を等差数列として読み、初項から第n項までにdをn-1回足すことを学びます。

aₙ₊₁=raₙ の形を等比数列として読み、初項から第n項までにrをn-1回掛けることを学びます。

aₙ₊₁=paₙ+q のような定数項つきの漸化式を、基準値からの差にずらして等比型として読みます。

一定割合で増える量を、前の値に1+rを掛けて次の値を求める漸化式として表します。

ハノイの塔の最小手数を、小さい枚数を移す手順に分けて aₙ₊₁=2aₙ+1 と表します。

数学的帰納法を、最初の確認と次へ進む確認の2段階で理解し、自然数全体へ広がる理由を学びます。

数学的帰納法で 1+2+...+n=n(n+1)/2 を証明し、仮定を使ってk+1の場合へ進む流れを学びます。

不等式の数学的帰納法で、仮定を使いながら不等号の向きを保って次の段階を示す方法を学びます。

割り切れる性質を数学的帰納法で示し、kの場合の式が現れるようにk+1の場合を分解します。

漸化式から一般項を予想し、予想だけで終わらせず数学的帰納法で正しいことを確かめます。