数学的帰納法のしくみ

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イントロ

最初と次への橋を示す

数学的帰納法は、自然数に関する命題を証明する方法です。最初に成り立つことと、ある段階で成り立てば次の段階でも成り立つことを示し、すべての自然数へ広げます。

定義

教科書では: 自然数nに関する命題を、基底段階と帰納段階で証明する方法です。
言いかえると: n=1で成り立つことを確かめます。次に、n=kで成り立つと仮定してn=k+1でも成り立つことを示します。この2つがそろうと、1から2、2から3、3から4へと順にすべてへ広がります。

手順

比較

方法n=1,2,3を試す

方法n=kならn=k+1も示す

方法基底段階と帰納段階をそろえる

いくつかの例は予想の助けになりますが、全体の証明には次へ進む理由が必要です。帰納法は、試した結果を証明へ広げるための型です。

要点

帰納法は2つの条件がそろって初めて動きます。片方だけでは、自然数全体に広がる理由になりません。

例

場面: ドミノを例に、帰納法のしくみを読む。
順に考えると: 1枚目が倒れることは基底段階です。どのドミノも、倒れたら次のドミノを倒すことは帰納段階です。1枚目が倒れ、さらに次へ伝わる仕組みがあるので、2枚目、3枚目、4枚目へ順に広がります。
ここが結論: 帰納法も、最初と次への橋の両方が必要です。どちらか一方では全体へ進めません。答案では、この2つを別々の段落で書くと読みやすくなります。

注意

確認

数学的帰納法で必ず確認する2つはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数学的帰納法で 1+2+...+n=n(n+1)/2 を証明し、仮定を使ってk+1の場合へ進む流れを学びます。