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等比型の漸化式
同じ数を掛けて進む
aₙ₊₁=raₙ は、前の項にいつも同じ数rを掛ける漸化式です。等比数列の「比が一定」という性質を、前の項から次の項を作るルールとして読みます。
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定義
等比型の漸化式
- 教科書では
- aₙ₊₁=raₙ のように、前の項に一定の数を掛けて次の項を作る漸化式です。
- 言いかえると
- 公比rは、次へ進むたびに掛ける数です。初項から第n項へはn-1回進むので、一般項ではrの指数がn-1になります。第1項ではまだ1回も掛けていないので、指数は0です。
公式
等比型の一般項
前の項にrを掛ける形なら使えます。rは公比で、毎回変わらない倍率です。
漸化式
an+1=r an
隣り合う項の比がいつもrであることを表します。前の項が分かれば、次の項はr倍して求められます。
- r公比
使うときのコツ
足し算ではなく掛け算です。
一般項
an=a1 rn-1
初項a₁にrをn-1回掛けます。指数は、初項から何回進んだかを数えたものです。
使うときのコツ
n=1ならr⁰です。
解くコツ
初項、公比、掛ける回数を分けて確認します。最後にn=1を代入して、r⁰になり初項へ戻るか見ます。
比較
| 場面 | 指数の意味 |
|---|---|
| 第1項 | まだ掛けていないのでr⁰ |
| 第2項 | 1回進むのでr¹ |
| 第n項 | n-1回進むのでrⁿ⁻¹ |
場面第1項
- 指数の意味
- まだ掛けていないのでr⁰
場面第2項
- 指数の意味
- 1回進むのでr¹
場面第n項
- 指数の意味
- n-1回進むのでrⁿ⁻¹
指数は項の番号そのものではなく、初項から何回倍率を掛けたかを表します。
要点
見る順番
等比型は、前の項が何倍になったかで読みます。足し算で増えるのではなく、毎回同じ倍率を掛ける点を先に確認します。
- 1
aₙ₊₁=raₙ の形を探す
- 2
初項a₁を確認する
- 3
公比rを読む
- 4
指数はn-1になる
例
- 場面
- a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ の一般項を求める。
- 順に考えると
- 前の項を2倍するので、公比は2です。第1項から第n項までは、1→2、2→3、...とn-1回進みます。したがってaₙ=3・2ⁿ⁻¹です。
- ここが結論
- 一般項は aₙ=3・2ⁿ⁻¹ です。n=1なら3・2⁰=3となり、初項と一致します。
注意
指数をnにしない
確認
確認テスト
Q1
a₁=4, aₙ₊₁=3aₙ の一般項はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
aₙ₊₁=raₙ は等比型
- 2
rは毎回掛ける数
- 3
第n項までの移動はn-1回
- 4
n=1で初項に戻るか確認する
- 5
一般項はa₁ rⁿ⁻¹
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