イントロ
一次型の漸化式
ずらして等比型に見る
aₙ₊₁=paₙ+q は、定数項qがあるためそのまま等比型ではありません。更新しても動かない基準値を見つけ、その基準値からの差を見ると、等比型に直せます。
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定義
一次型の漸化式
- 教科書では
- aₙ₊₁=paₙ+q のように、前の項の定数倍に一定の数を足す漸化式です。
- 言いかえると
- 定数項qを無視して等比型にしてはいけません。まず、同じ値を入れても変わらない基準値αを探し、aₙとαの差を新しい数列として見ます。値そのものではなく差に注目するのが、この型の入口です。
公式
ずらす形
変わらない基準値αを探します。αは、更新しても同じ場所に残る値です。
基準値
α=pα+q
更新しても変わらない値を表します。aₙもaₙ₊₁も同じαだと考えて、基準になる場所を決めます。
- αずらす基準値
使うときのコツ
まずこの一次方程式を解きます。
等比型
an+1-α=p(an-α)
基準値からの差が毎回p倍になる形です。この差を新しい数列と見れば、等比型の公式が使えます。
使うときのコツ
差を新しい数列として見ます。
解くコツ
定数項を消すのではなく、基準値からの差へ置き換えます。変形後は、必ず元のaₙへ戻して答えます。
比較
| 見方 | 読み方 |
|---|---|
| aₙそのもの | +qが残るので等比型に見えない |
| aₙ-α | 基準値からの差だけを追う |
| aₙ₊₁-α=p(aₙ-α) | 差が毎回p倍になる |
見方aₙそのもの
- 読み方
- +qが残るので等比型に見えない
見方aₙ-α
- 読み方
- 基準値からの差だけを追う
見方aₙ₊₁-α=p(aₙ-α)
- 読み方
- 差が毎回p倍になる
ずらす目的は、定数項つきの式を、差についての等比型へ読み替えることです。
手順
解く手順
- 1
α=pα+q を解く
- 2
aₙ-α を新しい数列として見る
- 3
aₙ₊₁-α=p(aₙ-α) に直す
- 4
等比型の一般項を使う
例
- 場面
- aₙ₊₁=2aₙ+3, a₁=1 の一般項を求める入口。
- 順に考えると
- α=2α+3を解くとα=-3です。基準値との差はaₙ-(-3)=aₙ+3なので、aₙ₊₁+3=2(aₙ+3) と書けます。aₙ+3の初項は1+3=4だから、aₙ+3=4・2ⁿ⁻¹です。
- ここが結論
- よって aₙ=4・2ⁿ⁻¹-3 です。最後に差の式からaₙへ戻します。
注意
定数項を無視しない
要点
答案に残す一言
ずらした数列を何にしたかを書くと、変形の理由が伝わります。採点される答案では、突然等比型にするより、基準値との差を定義してから進めると明確です。
- 1
αを求める
- 2
aₙ-α を考える
- 3
等比型になったことを書く
- 4
最後にaₙへ戻す
確認
確認テスト
Q1
aₙ₊₁=2aₙ+3 で、基準値αを求める式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
一次型はaₙ₊₁=paₙ+q
- 2
定数項を無視しない
- 3
基準値αを探す
- 4
aₙ-αを等比型として見る
- 5
最後にaₙへ戻して答える
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