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イントロ

ハノイの塔の漸化式

大きい問題を小さく分ける

ハノイの塔では、n+1枚を動かす手順を、上のn枚、大きい1枚、上のn枚に分けます。大きい問題の中に同じ小さい問題が2回出てくるため、漸化式が生まれます。

定義

ハノイの塔の手数

教科書では
大きい円盤の上に小さい円盤だけを置けるという条件で、円盤を別の柱へ移す最小手数です。
言いかえると
n+1枚を直接数えるのではなく、大きい円盤を動かすために上のn枚を一度よけます。その後、大きい円盤を1回動かし、よけたn枚を戻します。同じn枚の移動が前後に2回出てきます。
図解n枚を移す、大円盤を移す、n枚を戻すという3段階の図
n+1枚の問題は、n枚の移動を2回と、大きい円盤1回に分けて考えます。aₙが2回出る理由を図の左右で確認します。
公式

手数の漸化式

aₙをn枚の最小手数とします。n+1枚の問題を、すでに知っているn枚の問題へ分けます。

漸化式

n枚の移動を2回行い、大きい円盤を1回動かします。前半のaₙ、中央の1回、後半のaₙを合わせた形です。

  • n枚の最小手数
  • 大きい円盤の1回
使うときのコツ

2aₙは前後のn枚移動です。

一般項

小さい枚数で確かめると見える形です。予想したあとは、帰納法で漸化式に合うことを確認します。

使うときのコツ

証明は帰納法で確認します。

解くコツ

n+1枚を、n枚、大円盤、n枚に分けます。どの部分がaₙに対応するかを言葉で説明できるようにします。

比較
手順手数
上のn枚をよけるaₙ回
一番大きい円盤を動かす1回
上のn枚を戻すaₙ回

手順上のn枚をよける

手数
aₙ回

手順一番大きい円盤を動かす

手数
1回

手順上のn枚を戻す

手数
aₙ回

同じn枚の移動が前後に1回ずつあるので、合計はaₙ+aₙ+1になります。

手順

分け方

  1. 1

    上のn枚を別の柱へ移す

  2. 2

    一番大きい円盤を目的の柱へ移す

  3. 3

    上のn枚を大きい円盤の上へ戻す

  4. 4

    同じn枚移動が2回あると読む

場面
1枚、2枚、3枚の最小手数を漸化式で確認する。
順に考えると
1枚なら1回です。2枚なら、1枚をよける1回、大きい円盤の1回、1枚を戻す1回で3回です。式では2a₁+1=3。3枚なら2a₂+1=7回です。
ここが結論
最初の手数は 1, 3, 7 です。1枚増えるたびに、前の作業を2回使うことが分かります。
要点

一般項の見え方

1,3,7は、2¹-1, 2²-1, 2³-1 と読めます。ただし、数が合うことを見つけただけでは証明ではありません。

  1. 1

    小さい枚数で項を出す

  2. 2

    2ⁿ-1の形を予想する

  3. 3

    予想だけで終わらせない

  4. 4

    帰納法で後から確認する

注意

1回ずつ増えるわけではない

確認

確認テスト

Q1

n+1枚の最小手数をaₙで表す漸化式はどれですか。

まとめ

まとめ

  1. 1

    大きい問題を小さい問題に分ける

  2. 2

    n枚の移動が2回出る

  3. 3

    大きい円盤の1回を足す

  4. 4

    小さい問題の手数を再利用する

  5. 5

    手数はaₙ₊₁=2aₙ+1