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等差数列の公差と一般項
一定の差を式にする
等差数列は、隣り合う項の差がいつも同じ数列です。初項から何回その差を足したかを数えると、第n項の公式が自然に読めます。
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定義
等差数列と公差
- 教科書では
- 隣り合う項の差が一定である数列を等差数列といい、その差を公差といいます。
- 言いかえると
- 公差は、前の項から次の項へ進むときに足す数です。第1項から第n項までは、項そのものがn個でも、間の移動はn-1回です。
公式
等差数列の一般項
初項a、公差dのときに使います。
一般項
an = a + (n-1)d
初項aに、公差dをn-1回足します。
- a初項
- d公差
- n項番号
使うときのコツ
n=1ならaだけになるか確認します。
解くコツ
公式に入る前に、初項と公差を別々に書き出します。
要点
見る順番
公式を選ぶ前に、差が本当に一定かを確かめます。
- 1
隣り合う差を見る
- 2
初項aを決める
- 3
公差dを決める
- 4
足す回数はn-1
例
- 場面
- 初項3、公差4の等差数列で第10項を求める。
- 順に考えると
- 公式にa=3, d=4, n=10を入れます。a₁₀=3+(10-1)×4=3+36=39です。第10項でも、公差を足すのは9回です。
- ここが結論
- 第10項は39です。
注意
公差をn回足さない
要点
n-1を見落とさない
等差数列では、第1項からどれだけ移動したかを数えます。第n項という名前だけでn回足すと、第1項の時点でずれてしまいます。
- 1
第1項は移動0回
- 2
第2項で公差1回
- 3
第n項で公差n-1回
- 4
最後にn=1で確認する
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 初項 | 最初の値a | 公差を足した後の値にする |
| 公差 | 隣同士の差 | 全体の増加量と混同する |
| n-1 | 移動した回数 | 項の個数nと同じにする |
見る点初項
- 正しい読み
- 最初の値a
- よくあるずれ
- 公差を足した後の値にする
見る点公差
- 正しい読み
- 隣同士の差
- よくあるずれ
- 全体の増加量と混同する
見る点n-1
- 正しい読み
- 移動した回数
- よくあるずれ
- 項の個数nと同じにする
公式は暗記だけでなく、初項から何本の矢印を進んだかで説明できるようにします。
要点
等差数列の答案
初項、公差、何番目かを分けて書くと、n-1回足す理由が見えます。第n項だからn回足す、というずれを防ぎます。 答えの直前に「第n項は初項から何回進んだか」を確認し、n回ではなくn-1回進む理由を残します。
- 1
初項aを確認する
- 2
公差dを求める
- 3
第n項はn-1回進む
- 4
代入後に元の列で検算
確認
確認テスト
Q1
初項5、公差3の等差数列の一般項はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
等差数列は差が一定
- 2
公差は次へ進む足し算
- 3
一般項はa+(n-1)d
- 4
n=1で確認すると安全
- 5
第n項はn-1回進む
次に進む
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