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イントロ

見上げる角と高さの測定

場面を三角形に直す

建物や木の高さは、直接測れないことがあります。水平距離と見上げる角を直角三角形に直すと、三角比で高さを表せます。

定義

仰角を使う測定

教科書では
水平線から上を見上げる角を使い、直角三角形で高さを求める考え方です。
言いかえると
地面を水平、建物を垂直、視線を斜辺として図にすると、水平距離と高さが直角三角形の2辺になります。高さ/水平距離の比は tan で表せます。文章中の距離が、地面に沿った水平距離なのか、斜めの視線の長さなのかで使う比が変わります。文章題では、先に簡単な横線・縦線・視線の図へ直してから角度を書き込みます。
図解建物、地面、視線で直角三角形を作り仰角と高さを示した図
現実の場面を、地面・建物・視線の直角三角形に直します。高さを求めるときは水平距離と tan を使います。
公式

仰角で使う式

斜めの視線ではなく、水平距離との比を見るのがポイントです。

高さと水平距離

見上げる角θから高さの比を読む。

高さ

水平距離が分かると高さを表せる。

解くコツ

目の高さがある問題では、最後にその高さを足します。

手順

文章題を図にする手順

  1. 1

    水平な地面を線で描く

  2. 2

    建物や木を垂直に立てる

  3. 3

    視線を斜めに引く

  4. 4

    高さと水平距離を確認する

場面
建物から20m離れた地点で、仰角が35°だった。
順に考えると
目の高さを無視すれば、水平距離は20m、高さは未知です。tan35° = 高さ/20 なので、高さ = 20tan35° と表せます。目の高さ1.5mを考えるなら、最後に 1.5 を足します。問題文に『目の高さ』があるときは、三角比で出る高さが目の位置から上だけなのかを確認します。答えを書くときは、建物全体の高さなのか、目線から上の部分なのかを単位付きで区別します。
ここが結論
現実の長さは、図のどの辺かを決めてから式にします。
注意

斜め距離と水平距離を混同しない

要点

実用問題の確認

計算後は、求めた長さが建物全体の高さか、目から上の高さかを確認します。

  1. 1

    単位をそろえる

  2. 2

    目の高さを足すか見る

  3. 3

    水平距離を分母にする

  4. 4

    答えの意味を場面に戻す

要点

測量問題の読み方

現実場面の言葉を、三角形の辺の名前へ置き換えます。

  1. 1

    地面は水平距離

  2. 2

    建物は高さ

  3. 3

    視線は斜辺

  4. 4

    仰角は水平線から測る

確認

確認テスト 1

Q1

水平距離20m、仰角35°で、目の高さを無視すると高さはどう表せますか。

確認

確認テスト 2

Q1

目の高さ1.5mから仰角で求めた差の高さがh mだったとき、地面からの高さはどう表せますか。

要点

解いた後の確認

文章題では、計算結果が何の高さなのかを場面の言葉に戻します。

  1. 1

    目から上の高さか見る

  2. 2

    建物全体なら目の高さを足す

  3. 3

    水平距離を使ったか確認する

まとめ

まとめ

  1. 1

    場面を直角三角形に直す

  2. 2

    高さ/水平距離は tan

  3. 3

    目の高さは最後に足す

  4. 4

    斜め距離と水平距離を区別する

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