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余弦定理で辺を求める
直角でなくても辺を出す
余弦定理を使うと、直角でない三角形でも2辺とその間の角から残りの辺を求められます。三平方の定理を広げた公式として見ます。
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定義
余弦定理
- 教科書では
- 三角形の2辺とその間の角から、残りの辺を求める関係式です。
- 言いかえると
- 求めたい辺を a とすると、その向かいの角が A です。角Aをはさむ2辺を b、c として、a² = b² + c² - 2bc cosA を使います。公式の文字は図に合わせて置き直せます。求めたい辺を a と決めると、対応する角Aも自然に決まります。2辺とその間の角が与えられているときは、まずその角の向かいの辺を求める形かを見ます。
公式
余弦定理
角Aは、辺bと辺cにはさまれた角です。
余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
2辺とその間の角から向かいの辺を求める。
解くコツ
最後に平方根を取ることを忘れません。
要点
使う場面
SAS 型の条件では、まず余弦定理を疑います。
- 1
2辺が分かっている
- 2
その間の角が分かっている
- 3
残りの辺を求めたい
- 4
求める辺を a と置く
例
- 場面
- b=5、c=7、A=60° のとき a を求める。
- 順に考えると
- 余弦定理に代入すると、a² = 5² + 7² - 2・5・7・cos60° です。cos60°=1/2 なので、a² = 25 + 49 - 35 = 39。よって a = √39 です。答えは長さなので正の値を取ります。√39 は約6.2で、5と7から作る三角形としても自然な大きさです。途中で a² が出るため、最後に平方根を取る段階を忘れないようにします。
- ここが結論
- 2乗の値を出した後、辺の長さとして平方根を取ります。
比較
| 角A | 公式の形 | 意味 |
|---|---|---|
| 90° | a²=b²+c² | 三平方の定理 |
| 鋭角 | -2bc cosA | 三平方より短くなることがある |
| 鈍角 | cosAが負 | 項が足される形になる |
角A90°
- 公式の形
- a²=b²+c²
- 意味
- 三平方の定理
角A鋭角
- 公式の形
- -2bc cosA
- 意味
- 三平方より短くなることがある
角A鈍角
- 公式の形
- cosAが負
- 意味
- 項が足される形になる
余弦定理は、三平方の定理に角の影響を足した公式です。
注意
角の位置を見ずに代入しない
要点
余弦定理を選ぶ合図
2辺とその間の角がそろっているかを、図の上で確認します。
- 1
求めたい辺を a にする
- 2
向かいの角を A にする
- 3
Aをはさむ2辺を b,c にする
- 4
最後に平方根を取る
確認
確認テスト 1
Q1
2辺とその間の角が分かり、残りの辺を求めたいとき、まず候補になる定理はどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
b=3, c=4, A=60° のとき、aの長さはどれですか。
要点
解いた後の確認
余弦定理で辺を求めたら、三角形として自然な長さかを見ます。最長辺が他の2辺の和より短いかも、簡単な見直しになります。
- 1
辺の長さは正
- 2
最大辺より極端に大きくない
- 3
角Aの位置が合っている
まとめ
まとめ
- 1
余弦定理は三平方の定理の拡張
- 2
2辺とその間の角で使う
- 3
求める辺を a と置く
- 4
a² の後に平方根を取る
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