簡単な空間図形の計量

イントロ

立体を断面で見る

空間図形も、求めたい線や角を含むを取り出せば平面の問題になります。立体を三角形に直してから計算します。

定義

とは、立体を一つの平面で切ったときに現れる平面図形です。
イメージすると: 見取り図のまま公式を探すと、どの三角形で計算しているか分からなくなります。求めたい線や角を含む平面で立体を切り、現れた三角形を平面図として描き直します。見えている面だけでなく、立体の内部を通る平面も候補です。空間の問題でも、実際の計算は取り出した平面図形で進めます。

直方体から空間対角線を含む断面を取り出し直角三角形として見る図 — 立体から、求めたい線と既知の長さを同時に含む断面を取り出します。断面を正しく選ぶと、三平方の定理や三角比を使う平面問題へ変えられます。

手順

断面で考える手順

1
求めたい線や角に印を付ける
2
それを含む平面を探す
3
断面を平面図として描く
4
三角形の公式で計算する

要点

断面選びの目印

断面は、計算に使う量が同じ平面上に集まるように選びます。

1
求めたい線を含む
2
既知の長さも含む
3
直角三角形ができる
4
底面や側面を利用する

例

場面: 縦3、横4、高さ6の直方体で空間対角線を求める。
順に考えると: 底面の対角線は 3-4-5 の直角三角形から5です。空間対角線を含む断面では、底面対角線5と高さ6が直角になります。したがって空間対角線は √5²+6²=√61 です。空間対角線を含む断面を取り出すと、立体らしい難しさが、見慣れた直角三角形の計算に変わります。途中で使った底面対角線5は、次の断面では既知の辺として扱います。
ここが結論: 一度に立体を解かず、底面、断面の順に平面化します。

比較

見方	図	使う道具
見取り図	立体全体	関係を探す
底面	長方形の対角線	三平方の定理
断面	直角三角形	三平方や三角比

見方見取り図

図: 立体全体
使う道具: 関係を探す

見方底面

図: 長方形の対角線
使う道具: 三平方の定理

見方断面

図: 直角三角形
使う道具: 三平方や三角比

計算は、見取り図ではなく取り出した断面で行います。

注意

立体のまま一気に解かない

公式

断面で使う道具

立体用の新公式ではなく、平面の公式を使います。

断面の三平方

d² = p² + h²

断面の直角三角形で対角線を求める。

三角比

tanθ = 高さ水平距離

断面内の角を求めるときに使う。

解くコツ

どの断面の三角形かを先に示します。

要点

断面を選ぶ合図

空間図形では、計算したい量が同じ平面上に乗るように切り出します。

1
求めたい線を含める
2
使う既知量も含める
3
直角が見える断面を探す
4
断面図を別に描く

確認

確認テスト 1

Q1

空間対角線を求めるとき、最初に考えるべきことはどれですか。

確認

確認テスト 2

Q1

直方体の辺が3,4,12のとき、空間対角線の長さはどれですか。

まとめ

1
空間図形は断面に直す
2
求めたい線や角を含む平面を選ぶ
3
断面では平面の三角形として考える
4
三平方の定理やを使う