分母の有理化

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イントロ

値はそのまま、形だけ整える

分母に根号がある分数は、同じ値のまま見やすい形へ直せます。分母だけを勝手に変えるのではなく、分数全体に1を掛ける考え方が大切です。

定義

とは、分数の値を変えず、分母から根号をなくす変形です。
式から分かること: たとえば 1/√2 は、分子と分母に同じ √2 を掛けて √2/2 にできます。√2/√2 は1なので、分数全体の値は変わりません。分母の根号をなくすことが目的ですが、値を変えてはいけません。そのため、分子と分母に同じ数を掛けて、全体としては1を掛ける形にします。

公式

最初は分母が1つの根号だけの形を扱います。

基本形

1√a = √aa

分子と分母に √a を掛けると、分母が a になります。

使うときのコツ

分子にも必ず同じ √a を掛けます。

解くコツ

分母の根号を消すことだけを見ず、分数全体に同じ操作をしているか確認します。

手順

例

場面: 1/√2 を有理化する。
順に考えると: 分母が √2 なので、分子と分母に √2 を掛けます。すると分子は √2、分母は √2×√2=2 になり、√2/2 です。√2/√2 は1なので、値は変わっていません。
ここが結論: 分母に根号が残っていないか、分子にも同じ操作をしたかを最後に確認します。

要点

有理化は近似ではなく、1を掛ける同値変形です。分子と分母へ同じ0でない根号を掛けたことを一つの分数として書き、約分や根号の積まで計算して元の値を保ちます。

注意

要点

は見た目を整える操作です。分母だけを勝手に変えた答案になっていないかを最後に見ます。

確認

1/√3 の有理化として正しいものはどれですか。

確認

2/√5 を有理化した形として正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

絶対値を符号消しではなく、数直線上の距離として整理します。基本例とよくある誤解も確認します。