2つのグラフで囲まれた面積

イントロ

交点で左右を決め、縦の幅を積み重ねる

二つのグラフの間の縦の幅は「上の関数−下の関数」です。その幅を左の交点から右の交点まで積分すると、囲まれた面積になります。

定義

教科書では: 同じxにおける二つのy座標の差で、二つのグラフの間の縦方向の長さを表します。
言いかえると: 面積は小さな縦長の帯を並べたものと考えます。帯の高さは上側のy座標から下側のy座標を引いた値です。交点では高さが0になり、その二つの交点が通常は積分区間の端になります。

公式

上側がf、下側がg

S=∫_a^b {f(x)−g(x)}dx

a≤x≤bでf(x)≥g(x)なら、縦の幅f(x)−g(x)を積分する。

使うときのコツ

交点→区間→代表点→上−下、の順で式を決める

解くコツ

まずf(x)=g(x)を解いて交点を求め、交点の間から代表的なxを一つ選び、二つの関数値を比べて上下を確定します。

手順

要点

一次関数がいつも二次関数より上、という決まりはありません。上下関係は区間ごとに変わります。差f(x)−g(x)の符号を見るか、代表点を代入して確かめます。交点が三つ以上ある場合は、上下が入れ替わるたびに区間を分けます。

例

場面: 直線y=xと放物線y=x²で囲まれた部分の面積を求める。
順に考えると: x=x²よりx(x−1)=0なので交点のx座標は0、1です。代表点x=1/2ではx=1/2、x²=1/4なので、直線y=xが上です。したがって∫₀¹(x−x²)dxを計算します。
ここが結論: [x²/2−x³/3]₀¹=1/2−1/3=1/6です。縦の幅が区間内で0以上なので、結果も正の面積になります。

比較

確認するもの左右の端

確認するもの上下関係

確認するもの被積分関数

交点、上下、積分式は別々の判断です。図を描いて三段階を順に確認すると、符号や区間の取り違えを防げます。

注意

確認

Q1

a<x<bでf(x)>g(x)、f(a)=g(a)、f(b)=g(b)です。二つのグラフで囲まれた面積の式はどれですか。

まとめ