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円の方程式
中心からの距離が一定
円は、中心から同じ距離にある点の集まりです。その距離条件を式にすると、円の方程式になります。
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定義
円の方程式
- 教科書では
- 中心から一定の距離にある点 (x,y) が満たす方程式です。
- 言いかえると
- 中心を (a,b)、半径を r とすると、円周上の点は中心からの距離が r です。この距離条件を二乗した形が標準形です。
公式
円の標準形
中心と半径が分かると、円の式がすぐ作れます。
中心 (a,b), 半径 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
中心から点 (x,y) までの距離が r であることを表す。
使うときのコツ
半径は右辺の平方根
解くコツ
かっこの中が x-a, y-b なので、中心の符号を逆に読みます。
要点
読み取りの合図
式を見た瞬間に中心と半径を取り出せると、グラフを描く前に円の位置と大きさを予想できます。
- 1
中心はかっこの符号を逆に読む
- 2
右辺は半径の二乗
- 3
原点中心なら x²+y²=r²
比較
| 式 | 中心 | 半径 |
|---|---|---|
| x²+y²=9 | (0,0) | 3 |
| (x-2)²+(y+1)²=9 | (2,-1) | 3 |
| (x-a)²+(y-b)²=r² | (a,b) | r |
式x²+y²=9
- 中心
- (0,0)
- 半径
- 3
式(x-2)²+(y+1)²=9
- 中心
- (2,-1)
- 半径
- 3
式(x-a)²+(y-b)²=r²
- 中心
- (a,b)
- 半径
- r
かっこの符号と右辺を見れば、中心と半径が読めます。
要点
中心と半径を先に読む
円の方程式では、式全体を展開する前に中心と半径を読みます。標準形のかっこの符号と右辺が、図の中心と半径に対応します。 さらに、右辺を見れば半径をすぐ確認できます。 中心と半径を読み間違えたら、方程式に戻して図の位置と半径を確認します。
- 1
中心は符号を逆に読む
- 2
右辺は半径の二乗
- 3
円周上の点は中心から同じ距離
- 4
展開より標準形を優先
例
- 場面
- 中心 (2,-1)、半径 3 の円の方程式を作る。
- 順に考えると
- 標準形に a=2、b=-1、r=3 を入れると、(x-2)²+(y+1)²=9 です。
- ここが結論
- y座標が -1 なので、式では y+1 になります。
手順
答えの確かめ方
- 1
式を標準形として見る
- 2
中心の符号を逆に読む
- 3
右辺の平方根を半径にする
- 4
中心から円周までの距離を図で見る
- 5
読み取った中心を式へ戻して確認する
注意
中心の符号をそのまま読まない
確認
確認テスト
Q1
(x+3)²+(y-2)²=16 の中心と半径はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
円は中心からの距離が一定の点の集まり
- 2
標準形は (x-a)²+(y-b)²=r²
- 3
中心の符号と半径の二乗に注意する
- 4
標準形のまま読むと符号ミスを減らせる
- 5
中心と半径を図へ戻す
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