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円の方程式を決める
中心と半径を先に探す
条件から円の式を作るときは、いきなり展開せず、中心と半径を見つけます。直径の両端があると中点が中心になります。
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定義
円を決める条件
- 教科書では
- 円の方程式を決めるには、中心と半径が分かれば十分です。
- 言いかえると
- 直径の両端が分かると、中心はその中点です。半径は中心から端点までの距離として求めます。
公式
標準形へ入れる
条件から得た中心と半径を標準形に入れます。
円の形
(x-a)2+(y-b)2=r2
中心 (a,b)、半径 r を入れて円を決める。
直径の中心
M=((x1+x2)2,(y1+y2)2)
直径の両端の中点が中心になる。
解くコツ
条件を見たら、まず中心と半径を探します。
手順
決める手順
- 1
与えられた条件を読む
- 2
中心を探す
- 3
半径または半径の二乗を求める
- 4
標準形に入れる
要点
条件の読み方
与えられた点を順に代入する前に、中心を直接読める条件がないかを見ると計算が短くなります。
- 1
中心が分かれば半径を探す
- 2
直径の両端なら中点が中心
- 3
通る点だけ1つでは円は決まらない
要点
条件から中心と半径を探す
円の方程式を決める問題では、通る点を機械的に代入する前に、中心が分かる条件か、半径が分かる条件かを分けます。 作った方程式には、与えられた点を代入して条件を満たすか確かめます。
- 1
直径の両端なら中点が中心
- 2
中心と通る点なら距離が半径
- 3
半径の二乗を標準形へ入れる
- 4
条件が足りるか確認する
例
- 場面
- 直径の両端が A(0,0)、B(4,2) の円を求める。
- 順に考えると
- 中心は中点 (2,1)。半径の二乗は (2-0)²+(1-0)²=5 なので、円は (x-2)²+(y-1)²=5 です。直径の両端から、中心と半径の二乗を順に作ります。
- ここが結論
- 標準形では半径そのものではなく r² を入れます。与えられた点が代入して成り立つかも確認します。
手順
答えの確かめ方
- 1
中心を先に求める
- 2
半径または半径の二乗を出す
- 3
標準形に代入する
- 4
与えられた点が円上にあるか確認する
- 5
条件が1つだけで決めていないか見る
要点
円が一つに決まる条件
円は中心と半径が決まると一つに決まります。点を一つ通るだけでは、中心を変えた多くの円が作れることに注意します。
- 1
中心が必要
- 2
半径が必要
- 3
直径は中心と半径を同時に与える
- 4
通る点1つだけでは不十分
注意
点1つだけでは決まらない
確認
確認テスト
Q1
直径の両端が分かっているとき、最初に求めるとよいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
円は中心と半径で決まる
- 2
直径の両端なら中点が中心
- 3
半径の二乗を標準形に入れる
- 4
条件が中心と半径を決めているか確認する
- 5
与えられた点を代入して確認
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