イントロ
円と直線の位置関係
距離と半径を比べる
円と直線が交わるか、接するか、離れるかは、中心から直線までの距離と半径を比べると判断できます。
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定義
円と直線の位置関係
- 教科書では
- 円と直線の共有点が2個、1個、0個のどれになるかという関係です。
- 言いかえると
- 中心から直線までの距離dと半径rを比べます。dがrより小さければ2点で交わり、等しければ接し、大きければ離れています。座標まで聞かれたら連立へ進みます。
公式
距離 d と半径 r の比較
共有点の個数だけなら、距離で判断できます。
2点で交わる
d<r
直線が円の内側を通る。
接する
d=r
共有点が1個だけになる。
離れる
d>r
共有点がない。
解くコツ
交点の座標まで必要なら、直線を円に代入して解きます。
要点
方法の使い分け
- 1
個数だけなら d と r を比較
- 2
座標まで必要なら連立する
- 3
接するとは共有点が1個
比較
| 状態 | 条件 | 共有点 |
|---|---|---|
| 交わる | dがrより小さい | 2個 |
| 接する | dとrが等しい | 1個 |
| 離れる | dがrより大きい | 0個 |
状態交わる
- 条件
- dがrより小さい
- 共有点
- 2個
状態接する
- 条件
- dとrが等しい
- 共有点
- 1個
状態離れる
- 条件
- dがrより大きい
- 共有点
- 0個
d と r の比較を、共有点の個数に結び付けます。
要点
共有点の個数を読む
円と直線の位置関係では、交点の座標を出す前に、共有点が何個あるかを判断できます。中心から直線までの距離 d と半径 r を比べます。
- 1
d<rなら2点で交わる
- 2
d=rなら接する
- 3
d>rなら共有点なし
- 4
座標が必要なときだけ連立する
例
- 場面
- 円 x²+y²=25 と直線 y=3 の位置関係を調べる。
- 順に考えると
- 中心は (0,0)、半径は5。中心から直線 y=3 までの距離は3なので、d<r。直線は円と2点で交わります。
- ここが結論
- 交点の座標を求めなくても、位置関係は判断できます。
手順
答えの確かめ方
- 1
円の中心と半径を読む
- 2
中心から直線までの距離dを求める
- 3
dとrを比べる
- 4
共有点の個数を答える
- 5
座標まで必要なら連立する
要点
距離判定の意味
d と r の比較は、直線が円の内側まで届くかを見る判定です。d が半径と同じなら、直線は円にちょうど触れます。 個数だけを聞かれているのか、交点の座標まで必要なのかを問題文で分けます。
- 1
dは中心から直線への最短距離
- 2
rは中心から円周までの距離
- 3
等しいと接線になる
- 4
連立計算と同じ個数になる
注意
毎回連立しなくてよい
確認
確認テスト
Q1
中心から直線までの距離 d が半径 r と等しいとき、円と直線はどうなりますか。
まとめ
まとめ
- 1
円と直線は共有点の個数で見る
- 2
d<r は2点、d=r は接する
- 3
座標が必要なときだけ連立する
- 4
個数か座標かで解法を分ける
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