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円の接線の方程式
半径と接線は垂直
円の接線は、接点で半径と垂直になります。この性質を使うと、接点が分かるときの接線の式を作れます。
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定義
円の接線
- 教科書では
- 円と1点だけを共有する直線です。その共有点を接点といいます。
- 言いかえると
- 接点へ向かう半径と接線は直角に交わります。だから、接点と中心を結ぶ半径の傾きから、接線の傾きを決められます。
公式
原点中心の接線公式
原点中心の円では、接点を入れるだけで接線が作れます。
円 x²+y²=r²
x1 x+y1 y=r2
点 (x₁,y₁) における接線の方程式。
使うときのコツ
接点が円上か確認
解くコツ
公式の背景には、半径と接線が垂直という性質があります。
要点
接線問題の合図
接線の式は、接点を通ることと半径に垂直であることの二つを同時に満たす直線として考えます。
- 1
接点を確認する
- 2
半径と接線は垂直
- 3
原点中心なら公式が使いやすい
比較
| 方法 | 使う場面 | 見るもの |
|---|---|---|
| 公式 | 原点中心の円 | 接点の座標 |
| 垂直条件 | 一般の円 | 半径の傾き |
| 判別式 | 接する条件 | 共有点1個 |
方法公式
- 使う場面
- 原点中心の円
- 見るもの
- 接点の座標
方法垂直条件
- 使う場面
- 一般の円
- 見るもの
- 半径の傾き
方法判別式
- 使う場面
- 接する条件
- 見るもの
- 共有点1個
初学者はまず、接点と半径の垂直から考えると安全です。
要点
接点と半径を先に確認
接線の式を作る前に、接点が円上にあるかを確認します。接線はその接点で半径と垂直になるため、図の直角が式の根拠です。 公式を使ったあとも、接線が接点を通るかを代入して確かめます。
- 1
接点が円上か代入する
- 2
中心と接点を結ぶ
- 3
半径と接線は垂直
- 4
原点中心なら公式を使う
例
- 場面
- 円 x²+y²=25 の点 (3,4) における接線を求める。
- 順に考えると
- 公式 x₁x+y₁y=r² に x₁=3、y₁=4、r²=25 を入れて、3x+4y=25 です。
- ここが結論
- 接点 (3,4) は 3²+4²=25 を満たすので円上にあります。
手順
答えの確かめ方
- 1
接点を円の式に代入する
- 2
半径の向きを図に描く
- 3
接線が半径に垂直か確認する
- 4
公式なら x₁,y₁,r² を入れる
- 5
求めた直線が接点を通るか見る
要点
公式の背後を見る
x₁x+y₁y=r² は暗記用の形ですが、意味は「接点で半径に垂直な直線」です。接点を入れると必ず等式が成り立ちます。
- 1
x₁,y₁は接点の座標
- 2
右辺は半径の二乗
- 3
接点を通ることを確認
- 4
半径と同じ傾きにしない
注意
半径と同じ向きではない
確認
確認テスト
Q1
円 x²+y²=13 の点 (2,3) における接線はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
接線は円と1点だけを共有する
- 2
接点で半径と垂直になる
- 3
原点中心の円では x₁x+y₁y=r² を使える
- 4
接点を通るか必ず代入して確認する
- 5
接点を代入して接線を確認
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