イントロ
2つの円の共有点
距離比較と連立を使い分ける
2つの円は、2点で交わる、接する、離れるなどの関係をもちます。位置関係は中心間距離と半径で見ます。
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定義
2つの円の共有点
- 教科書では
- 2つの円の方程式をどちらも満たす点です。
- 言いかえると
- 円どうしの位置関係は、中心間距離と2つの半径で判断できます。共有点を求めるときは、2つの式を引くと簡単になることがあります。
公式
異なる2円の基本判定
中心間距離 d と半径 r1, r2 を比べます。
2点で交わる
|r1-r2|<d<r1+r2
2つの円が2つの共有点をもつ。
接する
d=r1+r2 または d=|r1-r2|
共有点が1個になる。
解くコツ
一致する円などの特別な場合は、この初回範囲から外します。
要点
使い分け
共有点の個数を知りたいだけか、座標まで必要かで使う道具が変わります。まず中心間距離で全体像をつかみます。
- 1
位置関係は距離比較
- 2
共有点は2式を連立
- 3
2式を引くと直線が出ることがある
比較
| 関係 | 共有点 | 見る量 |
|---|---|---|
| 2点で交わる | 2個 | 半径の和・差 |
| 接する | 1個 | 等号になる |
| 離れる | 0個 | 範囲外になる |
関係2点で交わる
- 共有点
- 2個
- 見る量
- 半径の和・差
関係接する
- 共有点
- 1個
- 見る量
- 等号になる
関係離れる
- 共有点
- 0個
- 見る量
- 範囲外になる
共有点の個数と中心間距離の条件を結び付けます。
要点
位置関係と共有点を分ける
2つの円では、まず交わるかどうかを中心間距離で判断します。共有点の座標まで求めるときだけ、2つの円の方程式を連立します。 共有点の個数だけなら距離比較、座標までなら連立というように、聞かれ方で解き方を選びます。
- 1
位置関係は中心間距離で見る
- 2
半径の和と差を比べる
- 3
共有点は2式を同時に満たす
- 4
2式を引くと直線が出ることがある
例
- 場面
- x²+y²=25 と (x-4)²+y²=9 の共有点を考える。
- 順に考えると
- 2式を引くと、共有点が満たす直線 x=4 が出ます。これは2つの円に共通する点が並ぶ直線です。そこから片方の円に代入して共有点を求める入口になります。
- ここが結論
- 2つの式の差は、共有点の候補を直線上にしぼるために使います。
手順
答えの確かめ方
- 1
2つの中心と半径を読む
- 2
中心間距離dを求める
- 3
半径の和・差とdを比べる
- 4
共有点の個数を判断する
- 5
座標が必要なら2式を連立する
注意
必ず交わるわけではない
確認
確認テスト
Q1
中心間距離 d=10、半径が 3 と 4 の2円はどうなりますか。
まとめ
まとめ
- 1
2円の位置関係は中心間距離で見る
- 2
共有点は2つの式を同時に満たす
- 3
2式を引くと計算が簡単になることがある
- 4
個数と座標で解き方を分ける
- 5
個数と座標で方法を分ける
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