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点と直線の距離
垂線の長さを測る
点と直線の距離は、点から直線へ下ろした垂線の長さです。公式は直線を一般形にしてから使います。
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定義
点と直線の距離
- 教科書では
- 点から直線へ下ろした垂線の長さ、つまり最短距離です。
- 言いかえると
- 斜めに測った長さではなく、直線に対して直角に下ろした長さを距離とします。公式を使うときは直線を ax+by+c=0 にします。
公式
距離公式
直線を一般形にしてから点の座標を入れます。
点と直線の距離
d=|ax0+by0+c|√a2+b2
点 (x0,y0) と直線 ax+by+c=0 の距離。
使うときのコツ
分子は絶対値
解くコツ
y=mx+n のままではなく、ax+by+c=0 に直してから使います。
手順
代入の手順
- 1
直線を一般形にする
- 2
a,b,cを読む
- 3
点の座標を分子に入れる
- 4
絶対値と平方根を計算
要点
使う場面
この公式は「点から直線へ垂直に下ろした長さ」を一度で出す道具です。一般形にそろえるほど読み間違いが減ります。
- 1
点と線の最短距離を聞かれたとき
- 2
円と直線の位置関係を調べるとき
- 3
直線は一般形でそろえる
要点
最短距離を式にする
点と直線の距離では、点から直線へ垂直に下ろした長さだけを測ります。公式を使う前に、直線が一般形になっているかを確認します。
- 1
距離は垂線の長さ
- 2
直線を ax+by+c=0 にする
- 3
点の座標を分子へ代入
- 4
絶対値で長さとして扱う
例
- 場面
- 点 (1,2) と直線 3x+4y-5=0 の距離を求める。
- 順に考えると
- 公式に入れると |3・1+4・2-5|/√3²+4²=6/5。分母は √25=5 です。
- ここが結論
- a,b,c と点の座標を読み間違えないようにします。
手順
答えの確かめ方
- 1
直線を一般形に直す
- 2
a,b,cを読み取る
- 3
x0,y0を取り違えず代入する
- 4
分母 √a²+b² を計算する
- 5
距離が正の長さになっているか見る
要点
公式の分子と分母
分子は点を直線の式へ入れたずれの量、分母は直線の係数による調整です。形だけでなく、最短距離を出している式として読みます。
- 1
分子は絶対値を付ける
- 2
分母はaとbだけで作る
- 3
cを分母に入れない
- 4
横差や縦差とは別の距離
注意
横の差ではない
確認
確認テスト
Q1
点 (2,1) と直線 3x+4y+1=0 の距離公式の分子はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
距離は点から直線への垂線の長さ
- 2
公式は ax+by+c=0 で使う
- 3
分子は絶対値で計算する
- 4
直線の形をそろえてから代入する
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