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直線の方程式
条件から式を作る
直線は、傾きと通る点が分かれば方程式にできます。縦の直線も含めて、図の直線を式で扱う入口です。
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定義
直線の方程式
- 教科書では
- 座標平面上の直線にある点 (x,y) が満たす式です。
- 言いかえると
- 直線上の点をすべて集めると、同じ式を満たします。普通は傾きと1点から作れますが、縦の直線は y=mx+n では表せません。
公式
直線を作る公式
条件の種類に合わせて式の形を選びます。
点と傾き
y-y1=m(x-x1)
点 (x₁,y₁) を通り、傾き m の直線。
2点から傾き
m=(y2-y1)(x2-x1)
2点の座標差から傾きを出す。
一般形
ax+by+c=0
縦の直線も含めて扱いやすい形。
解くコツ
条件が2点なら、まず傾きを求めます。
手順
式を作る順序
- 1
条件を読む
- 2
傾きがあるか確認する
- 3
点傾き式に入れる
- 4
必要なら整理する
比較
| 形 | 例 | 特徴 |
|---|---|---|
| 傾き切片形 | y=2x+1 | 傾きが読みやすい |
| 点傾き式 | y-1=3(x-2) | 条件から作りやすい |
| 縦の直線 | x=2 | 傾きは定義しない |
形傾き切片形
- 例
- y=2x+1
- 特徴
- 傾きが読みやすい
形点傾き式
- 例
- y-1=3(x-2)
- 特徴
- 条件から作りやすい
形縦の直線
- 例
- x=2
- 特徴
- 傾きは定義しない
直線の式は1種類だけではありません。条件に合う形を選びます。
要点
条件から式の形を選ぶ
直線の方程式では、最初に「傾きがあるか」「通る点があるか」「縦の直線か」を分けます。形を選べば、代入する場所が決まります。 式を作ったら、指定された点を代入して通ることを確認します。
- 1
傾きと1点なら点傾き式
- 2
2点なら先に傾きを出す
- 3
縦の直線は x=k
- 4
一般形は整理後の確認に使う
例
- 場面
- 点 (2,1) を通り、傾き 3 の直線を求める。
- 順に考えると
- 点傾き式に入れて y-1=3(x-2)。整理すると y=3x-5 です。最後に (2,1) を代入して成り立つか確認できます。
- ここが結論
- 傾きと1点があれば直線は1本に決まります。
手順
答えの確かめ方
- 1
求めた式に通る点を代入する
- 2
傾きが条件と一致するか見る
- 3
縦の直線を y=mx+n にしていないか確認する
- 4
必要なら一般形へ整理する
- 5
図の向きと式の傾きが合うか見る
要点
式の形に意味を持たせる
y-y₁=m(x-x₁) は、通る点からどれだけ動いたかを傾きで結ぶ式です。暗記だけでなく、点と傾きの情報を入れる箱として使います。
- 1
mは直線の傾き
- 2
(x₁,y₁)は通る点
- 3
x=kは縦の直線
- 4
一般形でも同じ直線を表せる
注意
縦の直線に注意
確認
確認テスト
Q1
点 (1,2) を通り、傾き 4 の直線はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
点と傾きから直線を作れる
- 2
2点なら先に傾きを求める
- 3
縦の直線は x=k と表す
- 4
指定点を代入して確認
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