イントロ
内分点と外分点
比で点の位置を決める
線分を何対何に分けるかが分かると、点の座標を決められます。内分と外分は、点が線分の内側か外側かで区別します。
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定義
内分点・外分点
- 教科書では
- 内分点は線分の内側で比を作る点、外分点は線分の外側で比を作る点です。
- 言いかえると
- 内分では点PがAとBの間にあります。外分ではPが線分ABの外側に出るため、公式にも引き算が現れます。AP:PBの順序と、点がどちら側に寄るかを図で確かめます。
公式
分点の座標
AP:PB=m:n として、座標を重み付きで求めます。
内分点
P=((n x1+m x2)(m+n),(n y1+m y2)(m+n))
PがAとBの間にあるときの公式。
使うときのコツ
近い端点ほど重みは小さい
外分点
P=((-n x1+m x2)(m-n),(-n y1+m y2)(m-n))
Pが線分の外側にあるときの公式。
使うときのコツ
m=n では使わない
解くコツ
公式だけでなく、点が内側か外側かを図で確認します。
要点
比を読むコツ
- 1
AP:PB の順序を守る
- 2
内分は線分の中にある
- 3
外分は外側に出る
- 4
計算後に図で位置を確認
比較
| 点 | 位置 | 計算の見方 |
|---|---|---|
| 中点 | 線分の真ん中 | 1:1の内分 |
| 内分点 | AとBの間 | 重み付き平均 |
| 外分点 | 線分の外側 | 引き算が入る |
点中点
- 位置
- 線分の真ん中
- 計算の見方
- 1:1の内分
点内分点
- 位置
- AとBの間
- 計算の見方
- 重み付き平均
点外分点
- 位置
- 線分の外側
- 計算の見方
- 引き算が入る
中点は内分点の特別な場合です。外分点だけは外側に出ます。
要点
比と位置をセットで読む
内分点・外分点では、公式に入れる前に AP:PB の順序と、点が線分の内側か外側かを確認します。計算結果だけではなく位置も答えの一部です。 比が1:2なら点は真ん中ではなく、Aに近い側かBに近い側へずれます。計算前におよその位置を図に入れます。 外分点では線分の外側に出るため、計算結果がAとBの間に来たら比の向きや公式を見直します。
- 1
AP:PB の順序を図に書く
- 2
内分なら点はAとBの間
- 3
外分なら線分の外側
- 4
中点と同じ平均にしない
例
- 場面
- A(1,2)、B(7,5) を 1:2 に内分する点を求める。
- 順に考えると
- AP:PB=1:2 なので、P=((2・1+1・7)/3,(2・2+1・5)/3)=(3,3)。Aに近い側にある点として図でも確認できます。
- ここが結論
- 比の順序を守ると、点の位置も自然に合います。
手順
答えの確かめ方
- 1
比の順序を問題文と照合する
- 2
内分か外分かを図で確認する
- 3
内分点が線分の中にあるか見る
- 4
外分点が外側に出ているか見る
- 5
座標を端点へ戻して比を確かめる
注意
全部を平均にしない
確認
確認テスト
Q1
A(0,0)、B(6,0) を 1:2 に内分する点はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
内分点は線分の中にある
- 2
外分点は線分の外側にある
- 3
比の順序と点の位置をセットで確認する
- 4
比からおよその位置を先に描く
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