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解と係数の関係
解を出さずに和と積を読む
二次方程式では、解そのものを求めなくても、2つの解の和や積が係数から分かります。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
解と係数の関係
- 教科書では
- 二次方程式の解の和と積を、係数で表す関係です。
- 言いかえると
- ax²+bx+c=0 の2つの解を α,β とすると、α+β=-b/a、αβ=c/a です。符号に注意して読みます。 解を直接求めなくても、和と積を係数から読めることがこの関係の強みです。
公式
解と係数の関係
係数から解の情報を直接読みます。
解の和
α+β=-ba
x の係数 b にマイナスが付きます。
使うときのコツ
符号に注意
解の積
αβ=ca
定数項 c を a で割ります。
使うときのコツ
a≠0
解くコツ
まず ax²+bx+c=0 の形にそろえます。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。方程式を標準形にすることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
方程式を標準形にする
- 2
a,b,c を読む
- 3
解の和は -b/a
- 4
解の積は c/a
手順
進め方
- 1
方程式を標準形にする
- 2
a,b,c を読む
- 3
和は -b/a を計算する
- 4
積は c/a を計算する
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- x²-5x+6=0 の2つの解の和と積を求める。
- 順に考えると
- a=1、b=-5、c=6 です。解の和は -b/a=5、積は c/a=6 です。実際の解 2,3 とも一致します。 a,b,cを読み取り、和と積の公式に分けて代入します。
- ここが結論
- 解を直接求めなくても、和と積は係数から読めます。 和と積の符号が係数と合っているか確認します。先に標準形へ直し、a,b,c を明示すると符号の取り違えを防げます。特に和は -b/a なので、b の符号をそのまま読まないよう注意します。
比較
| 方法 | 分かること | 見る点 |
|---|---|---|
| 解を求める | 2,3 | 個々の値 |
| 係数で読む | 和5, 積6 | 情報だけ |
| 注意 | -b/a | 符号 |
方法解を求める
- 分かること
- 2,3
- 見る点
- 個々の値
方法係数で読む
- 分かること
- 和5, 積6
- 見る点
- 情報だけ
方法注意
- 分かること
- -b/a
- 見る点
- 符号
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
和の符号を落とさない
確認
確認テスト
Q1
x²+3x+2=0 の2つの解の和はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
解の和は -b/a
- 2
解の積は c/a
- 3
標準形にそろえて読む
- 4
解を出さずに情報を得られる
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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