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分数式の約分と乗除
消せるのは因数だけ
分数式は数の分数と似ていますが、項を勝手に消すと間違います。因数に分けてから約分します。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
分数式
- 教科書では
- 分母や分子に文字式を含む分数の形の式です。
- 言いかえると
- 約分では、分母と分子に共通する因数だけを消せます。足し算の一部や項をばらばらに消すのではなく、積の形にしてから見ることが大切です。 約分できるのは共通因数だけです。足し算の一部を消さないよう、先に因数分解します。
公式
分数式の乗除
数の分数と同じ流れで、式の因数を扱います。
乗法
AC × BD = ABCD
分子どうし、分母どうしを掛けます。
使うときのコツ
先に約分できる
除法
AC ÷ BD = AC × DB
割る分数式を逆数にして掛けます。
使うときのコツ
B,D は0でない
解くコツ
計算前に因数分解すると、約分できる場所が見えます。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。分母と分子を因数分解することから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
分母と分子を因数分解する
- 2
共通する因数を探す
- 3
分数式は因数で約分する
- 4
項の一部は消せない
手順
進め方
- 1
分母と分子を因数分解する
- 2
共通する因数を探す
- 3
同じ因数だけ約分する
- 4
残った式を整理する
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- (x²-1)/(x-1) を約分する。
- 順に考えると
- x²-1=(x-1)(x+1) なので、((x-1)(x+1))/(x-1) です。共通因数 x-1 を約分して x+1 になります。 分子を因数分解し、共通因数として消せる形にします。
- ここが結論
- 元の式では x=1 は分母を0にするので除きます。 約分前に除いてはいけない値も意識します。
比較
| 約分 | 例 | 理由 |
|---|---|---|
| できる | (x-1)(x+1)/(x-1) | 因数が同じ |
| できない | (x+1)/(x-1) | 項を消せない |
| 注意 | 分母0 | 元の条件を見る |
約分できる
- 例
- (x-1)(x+1)/(x-1)
- 理由
- 因数が同じ
約分できない
- 例
- (x+1)/(x-1)
- 理由
- 項を消せない
約分注意
- 例
- 分母0
- 理由
- 元の条件を見る
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
項は勝手に消せない
確認
確認テスト
Q1
(x²-4)/(x-2) の約分後として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
分数式は因数で約分する
- 2
項の一部は消せない
- 3
除法は逆数を掛ける
- 4
分母0の値に注意する
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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