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イントロ

力学的エネルギー保存則

速さと高さは入れ替わっても、和は保たれる

落ちるボールでは、高さが減るほど速さが増えていきます。このとき『形は変わっても、全体の量は保たれる』と見るのが力学的エネルギー保存則です。

定義

力学的エネルギー保存則

教科書では
摩擦や空気抵抗を無視できるとき、運動エネルギー K と位置エネルギー U の和は K + U = 一定 と表せます。
言いかえると
高い所では位置エネルギーが大きく、落ちながらそれが運動エネルギーに変わります。どちらか一方だけを見るのでなく、2つを合わせた全体としての量は変わらないと見るのが保存則です。問題では、はじめと終わりの 2 点を選んで「前 = 後」の式を立てるのが基本です。
公式

保存則の公式

保存則は、全体の和と前後比較の2つを押さえると使いやすくなります。

保存の見方

摩擦などを無視できるなら、運動エネルギー K と位置エネルギー U の和は変わりません。

  • 運動エネルギー
  • 位置エネルギー
使うときのコツ

途中を全部追わず、全体の和が同じだと見ます。

計算で使う形

はじめの状態 1 と、あとの状態 2 を比べるときの基本形です。

  • はじめの状態のエネルギー
  • あとの状態のエネルギー
使うときのコツ

質量 m が両辺に共通なら消せることが多いです。

解くコツ

保存則は前 = 後の1本にしてから整理します。

比較
場面位置エネルギー運動エネルギー
高い位置大きい小さい
途中減る増える
低い位置小さい大きい

場面高い位置

位置エネルギー
大きい
運動エネルギー
小さい

場面途中

位置エネルギー
減る
運動エネルギー
増える

場面低い位置

位置エネルギー
小さい
運動エネルギー
大きい

落下では、高さによるエネルギーが減るぶん、速さによるエネルギーが増えると考えます。

要点

解くときの流れ

保存則の問題は、途中を全部追わずに「はじめ」と「あと」で比べると一気に見通しやすくなります。

  1. 1

    まず摩擦や空気抵抗を無視できるか確認する

  2. 2

    次に同じ基準面で位置エネルギーをそろえる

  3. 3

    K₁ + U₁ = K₂ + U₂ の形にして未知量を出す

  4. 4

    質量 m が両辺に共通なら約分できることが多い

図解落下する球の3つの位置と、位置エネルギーから運動エネルギーへ移る様子を抽象的に示した図
上では高さによるエネルギーが大きく、下では速さによるエネルギーが大きくなるという入れ替わりを、1枚の図で見渡せます。
場面
高さ 5.0 m の位置から物体を静かに落とす。g = 10 m/s²、空気抵抗は無視する。
順に考えると
はじめは速さ 0 なので K₁ = 0、位置エネルギーは U₁ = mgh = m × 10 × 5.0 です。地面を基準にすると、地面直前では U₂ = 0 で、運動エネルギーは K₂ = 1/2 mv² です。保存則 K₁ + U₁ = K₂ + U₂ より、m × 10 × 5.0 = 1/2 mv² となります。m を消して 50 = v² / 2、したがって v² = 100、v = 10 m/s です。
ここが結論
地面直前の速さは 10 m/s です。保存則では「前 = 後」を立て、共通な量を整理すると解きやすくなります。
注意

成り立つ条件に注意

確認

確認テスト 1

Q1

力学的エネルギー保存則をそのまま使いやすい場面はどれですか。

確認

確認テスト 2

Q1

摩擦が大きいとき、保存則はどう扱いますか。

まとめ

まとめ

  1. 1

    摩擦などがなければ K + U は一定と見られる

  2. 2

    保存則では、はじめと終わりの 2 点を比べる

  3. 3

    式は K₁ + U₁ = K₂ + U₂ の形で立てる

  4. 4

    共通な質量や基準面をそろえると計算しやすい

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