力学的エネルギー保存則

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イントロ

速さと高さは入れ替わっても、和は保たれる

落ちるボールでは、高さが減るほど速さが増えていきます。このとき『形は変わっても、全体の量は保たれる』と見るのが力学的エネルギー保存則です。

定義

とは、条件を満たすと運動・位置エネルギーの和が保たれる法則です。
たとえば: 摩擦やを無視できる落下では、高さによる U が減った分だけ運動による K が増え、K + U は一定です。

公式

保存則の公式

保存則は、全体の和と前後比較の2つを押さえると使いやすくなります。

保存の見方

K + U = 一定

摩擦などを無視できるなら、 K と U の和は変わりません。

K運動エネルギー
U位置エネルギー

使うときのコツ

途中を全部追わず、全体の和が同じだと見ます。

計算で使う形

K₁ + U₁ = K₂ + U₂

はじめの状態 1 と、あとの状態 2 を比べるときの基本形です。

K₁, U₁はじめの状態の
K₂, U₂あとの状態のエネルギー

使うときのコツ

m が両辺に共通なら消せることが多いです。

解くコツ

保存則は前 = 後の1本にしてから整理します。

比較

場面	位置による U	運動による K
高い位置	大きい	小さい
途中	減る	増える
低い位置	小さい	大きい

場面高い位置

位置による U: 大きい
運動による K: 小さい

場面途中

位置による U: 減る
運動による K: 増える

場面低い位置

位置による U: 小さい
運動による K: 大きい

位置による U と運動による K の和をといい、落下では一方が減るぶん他方が増えます。

要点

解くときの流れ

保存則の問題は、途中を全部追わずに「はじめ」と「あと」で比べると一気に見通しやすくなります。

1
まず摩擦やを無視できるか確認する
2
次に同じでをそろえる
3
K₁ + U₁ = K₂ + U₂ の形にして未知量を出す
4
m が両辺に共通なら約分できることが多い

落下する球の3つの位置と、位置エネルギーから運動エネルギーへ移る様子を抽象的に示した図 — 上では高さによるが大きく、下ではによるが大きくなるという入れ替わりを、1枚の図で見渡せます。

例

場面: 高さ 5.0 m のから物体を静かに落とす。g = 10 m/s²、は無視する。
順に考えると: はじめは 0 なので K₁ = 0、は U₁ = mgh = m × 10 × 5.0 です。地面を基準にすると、地面直前では U₂ = 0 で、は K₂ = 1/2 mv² です。保存則 K₁ + U₁ = K₂ + U₂ より、m × 10 × 5.0 = 1/2 mv² となります。m を消して 50 = v² / 2、したがって v² = 100、v = 10 m/s です。
ここが結論: 地面直前の速さは 10 m/s です。保存則では「前 = 後」を立て、共通な量を整理すると解きやすくなります。

注意

成り立つ条件に注意

確認

確認テスト 1

をそのまま使いやすい場面はどれですか。

確認

確認テスト 2

摩擦が大きいとき、保存則はどう扱いますか。

まとめ

1
摩擦などがなければ K + U は一定と見られる
2
保存則では、はじめと終わりの 2 点を比べる
3
式は K₁ + U₁ = K₂ + U₂ の形で立てる
4
共通なやをそろえると計算しやすい

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この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

熱

熱と温度の違い

熱と温度を、温度差によるエネルギーの移動として区別し、熱分野の最初の言葉を整理します。