イントロ
弦の振動と固有振動数
両端の節が、入る波の形を選ぶ
弦はどんな形でも安定して振動できるわけではありません。両端が動かないという条件に合う定在波だけが続き、基本振動や倍振動として音をつくります。
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学習モード
外観
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定義
- とは、物体が形・大きさ・境界条件に応じた固有の仕方で振動することです。
- 式から分かること
- 両端固定の弦では両端をとするができ、半波長が整数個入ります。
公式
両端固定弦の固有振動
弦長と波長
L=nλ2 （n=1,2,3,…）
長さLの中にの半分がn個入ります。
- L振動する弦の長さ
- n基本振動を1とする正の整数
固有振動数
fₙ=nv(2L)
は、と弦長から決まります。
- v弦を伝わる波の速さ
使うときのコツ
まず端に節を置き、半波長の個数nを決めます。
解くコツ
端条件→半波長の個数→λ→v=fλの順に進めます。
手順
固有振動数を求める手順
- 1
両端へ節を置く
- 2
半波長が何個入る形かをnで数える
- 3
L=nλ/2から波長を出す
- 4
f=v/λまたはfₙ=nv/(2L)へ代入する
要点
最も低い振動の形
両端が節で中央がになる最も低い形では、弦長に半波長が一つ入ります。
- 1
ではL=λ/2です
- 2
では半波長が複数入ります
- 3
n番目の形では半波長がn個入ります
- 4
は同じ波速ならn倍になります
例
- 場面
- 長さ0.75 mの両端固定弦を波が300 m/sで伝わる。基本振動数を求める。
- 順に考えると
- 基本振動ではn=1で、波長はλ=2L=1.50 mです。したがってf=v/λ=300/1.50=200 Hzです。二倍振動なら半波長が二つ入り、振動数は400 Hzになります。
- ここが結論
- 基本振動数は200 Hzです。
注意
基本振動のLを一波長としない
確認
確認テスト
Q1
両端固定弦の三倍振動で、弦長Lと波長λの関係はどれですか。
確認
固有振動数の確認
Q1
ある両端固定弦の基本振動数が150 Hzです。同じ張り方の三倍振動の振動数はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
両端固定弦では両端が節です
- 2
長さLには半波長が整数個入ります
- 3
はfn=nv/(2L)で表します
- 4
最も低い形の弦長は半波長です
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