約数・倍数と素因数分解

イントロ

数を「割り切れる関係」で見る

約数・倍数から数の構造へ

同じ人数に分ける、一定個数ずつ箱に詰めるといった活動では、余りなく分けられるかが大切です。約数・倍数と素因数分解は、その関係を見通しよく整理する道具です。数字をただ列挙せず、積の構造で比べられるようになります。

定義

教科書では: aでbが余りなく割れるとき、aはbの約数、bはaの倍数です。整数を素数だけの積で表すことを素因数分解といいます。
言いかえると: 12は3で割り切れるので、3は12の約数、12は3の倍数です。約数と倍数は別々の暗記事項ではなく、同じ割り切れる関係を反対側から読んだ言葉です。素数は1より大きく、正の約数が1と自分自身だけの整数です。1はこの定義に入らず、素数でも合成数でもありません。

要点

2、3、5、7…の小さい素数から順に、割り切れる間は繰り返して割ります。順番が違っても、素因数の並び順を除けば同じ分解になります。

例

場面: 60個と84個のお菓子を、どちらも余りなく同じ人数へ最大何人で分けられるか。
順に考えると: 60=2²×3×5、84=2²×3×7と素因数分解します。両方に共通する素因数は2が2個と3が1個なので、2²×3=12です。したがって最大12人に分けられ、1人分はそれぞれ5個と7個になります。24人では60を割り切れず、12より多い人数は作れないことも因数の比較から分かります。
ここが結論: 「両方を割り切る最大の人数」は、二数の共通する素因数を、それぞれに含まれる少ない個数だけ取って読めます。

比較

見る関係約数

見る関係倍数

見る関係素因数

「何が何を割るか」という主語を確認すると、約数と倍数の言い逆を防げます。素因数は数の材料として読む言葉です。

注意

確認

Q1

60=2²×3×5、84=2²×3×7です。最大公約数はどれですか。

まとめ

割り算の余りを次へ渡す有限の手順で、二つの整数の最大公約数を求め、結果を元の数で検算します。